Función Divisor: Función aritmética relacionada cos divisores dun enteiro

Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, que, como o nome indica, é unha suma sobre a función divisor.

A función suma de divisores positivos σ_z (n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$ 

onde ${\displaystyle {d\mid n}}$  é a abreviatura de "d divide a n ". O número de divisores é ${\displaystyle \sigma _{0}=d(x)}$  (secuencia A000005 na OEIS) e a suma de divisores é ${\displaystyle \sigma _{1}}$ , moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ₁ (n) (secuencia A000005 na OEIS).

Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas. Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,

• ${\displaystyle d(n)}$ : función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ . Fálase dela no artigo divisor.
• ${\displaystyle \sigma _{z}(n)}$ : función suma de divisores positivos.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias z dos divisores. ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$  escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
• ${\displaystyle D(x)}$ : función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio da función divisor para ${\displaystyle d(n)}$  dos n menores que x.

Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma, na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ .

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

Por exemplo, σ₀ (12) é o número dos divisores de 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$ 

mentres que σ₁ (12) é a suma de todos os divisores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$ 

e podemos ver tamén para a potencia 2

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}(12)&=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+12^{2}\\&=1+4+9+16+36+144=210,\end{aligned}}}$ 

para a primeira potencia negativa temos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$ 

σ_-1 ( n ) está relacionado co número abundante.

Algúns valores son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$ 

Os casos x = 2 a 5 están listados na (secuencia A001157 na OEIS) ata (secuencia A001160 na OEIS), x = 6 a 24 están listados na (secuencia A013954 na OEIS) ata (secuencia A013972 na OEIS).

Fórmulas en potencias primas

Para un número primo p,

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$ .

porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo. A maiores, se p_n # denota o primorial ,

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$  corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa,

${\displaystyle \gcd(a,b)=1{\text{ implica }}\sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$ 

A consecuencia disto é que, se escribimos

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$ 

onde r = ω ( n ) é o número de factores primos distintos de n, p_i é o i-ésimo factor primo e a_i é a potencia máxima de p_i pola cal n é divisible, daquela temos:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$ 

que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$ 

Cando x = 0, ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$  é:

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$ 

Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p₁ é 2 e p₂ é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 2³ × 3¹, a₁ é 3 e a₂ é 1. Así podemos calcular ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$  do seguinte modo:

${\displaystyle \sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$ 

Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

Outras propiedades e identidades

Euler demostrou a notable recorrencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$ 

onde ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$  se ocorre, e ${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$  para ${\displaystyle x<0}$ , e ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$  son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados (OEIS : A001318, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema de números pentagonales .

Tamén temos s (n) = σ (n) − n . Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n) = n . Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.

Se n é unha potencia de 2, ${\displaystyle n=2^{k}}$ , entón ${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$  e ${\displaystyle s(n)=n-1}$ , o que fai n case perfecto.

Como exemplo, para dous primos ${\displaystyle p,q:p$ , e sexa

${\displaystyle n=p\,q}$  .

Daquela

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$ 
${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$ 

e

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$ 
${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$ 

onde ${\displaystyle \varphi (n)}$  é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$ 

e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de n ou ${\displaystyle p+q}$ , como

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$ 
${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$ 

En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$ 

é certa para infinitos valores de n, consulte (secuencia A005237 na OEIS).

Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$ 

onde ${\displaystyle \zeta }$  é a función zeta de Riemann.

A serie para d(n) = σ₀ (n) dá:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$ 

e unha identidade de Ramanujan

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$ 

que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$ 

para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para ${\displaystyle k>0}$ , hai unha representación explícita como serie coas sumas de Ramanujan ${\displaystyle c_{m}(n)}$  como:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$ 

O cálculo dos primeiros termos de ${\displaystyle c_{m}(n)}$  mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$ :

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$ 

Bibliografía

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009). Superabundant numbers and the Riemann hypothesis (PDF). American Mathematical Monthly 116. pp. 273–275. doi:10.4169/193009709X470128. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-04-11. .
• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
• Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis; Sondow, Jonathan (2011). Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis (PDF). INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 11. pp. A33. Bibcode:2011arXiv1110.5078C. arXiv:1110.5078. 
• Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick (2007). On Robin's criterion for the Riemann hypothesis. Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19. pp. 357–372. ISSN 1246-7405. MR 2394891. Zbl 1163.11059. arXiv:math.NT/0604314. doi:10.5802/jtnb.591. 
• Gioia, A. A.; Vaidya, A. M. (1967). Amicable numbers with opposite parity. The American Mathematical Monthly 74. pp. 969–973. JSTOR 2315280. MR 220659. doi:10.2307/2315280. 
• Grönwall, Thomas Hakon (1913). Some asymptotic expressions in the theory of numbers. Transactions of the American Mathematical Society 14. pp. 113–122. doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001. 
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. pp. 385–440. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026. 
• Lagarias, Jeffrey C. (2002). An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. The American Mathematical Monthly 109. pp. 534–543. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695443. MR 1908008. arXiv:math/0008177. doi:10.2307/2695443. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950. 
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77081766. 
• Ramanujan, Srinivasa (1997). Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin. The Ramanujan Journal 1. pp. 119–153. ISSN 1382-4090. MR 1606180. doi:10.1023/A:1009764017495. 
• Robin, Guy (1984). Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série 63. pp. 187–213. ISSN 0021-7824. MR 774171. 
• Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts 76. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002. 

Outros artigos

• Función totiente de Euler
• Táboa de divisores

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Divisor Function". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Robin's Theorem". MathWorld. 
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.