La funzione σ ( n ) è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale n :
La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle -esime potenze dei divisori di :
Per , il valore di è sempre maggiore o uguale del numero stesso più , perché ogni numero e sono divisori del numero stesso: si ha , con l'uguaglianza se e solo se è un numero primo. Se invece è composto, vale la disuguaglianza più forte .
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
σ(n) | 1 | 3 | 4 | 7 | 6 | 12 | 8 | 15 | 13 | 18 |
n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
σ(n) | 12 | 28 | 14 | 24 | 24 | 31 | 18 | 39 | 20 | 42 |
La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia .
essendo una serie geometrica, e quindi
Soddisfa l'identità
Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono
e
dove è la funzione zeta di Riemann.
La funzione è anche nota come funzione tau.
La funzione sigma generalizzata con , restituisce il numero totale di divisori di . Sia n scomponibile in fattori primi come , allora
Ad esempio, il numero di divisori del numero possono essere calcolati come
In effetti il numero 24 ha 8 divisori (1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24).
In C:
int sigma( int N ){//la funzione riceve un intero naturale N e restituisce la somma dei suoi divisori int i, res=0; if (N<1) return 0;//se N è non positivo, restituisce zero for (i=1; i<=N; i++) if( !(N%i) ) // equivalente a (N%i)==0 res+=i; return res; }
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