Konjektuuri

Kun konjektuuri on osoitettu todeksi, siitä tulee teoreema eli lause.

Kuuluisin konjektuuri oli Fermat'n suuri lause, joka osoitettiin todeksi vuonna 1995 ja siitä tuli teoreema. Muita kuuluisia konjektuureja:

• abc-konjektuuri
• Church–Turingin konjektuuri
• Gilbreathin konjektuuri
• Goldbachin konjektuuri
• Poincarén konjektuuri
• Riemannin hypoteesi
• Collatzin konjektuuri
• Erdősin-Straussin konjektuuri

Matemaattisen konjektuurin voi kumota esittämällä vastaesimerkin. Vaikka monet konjektuurit on laskettu tietokoneella valtavien lukujen päähän, se ei silti ole tae siitä, että konjektuuri olisi tosi.

Ennen pitävää todistusta konjektuureista ei voi johtaa muiden lauseiden todistuksia, sillä jos konjektuuri todistetaan epätodeksi, se romuttaa myös muut sitä käyttäneet todistukset. Jotkin todisteet kuitenkin käyttävät esimerkiksi Riemannin hypoteesia, vaikka sitä ei ole näytetty toteen. Silloin kyseessä on konditionaalinen todistus, joka on tosi sillä ehdolla, että hypoteesi x on tosi.

Konjektuurit voidaan todistaa toden ja epätoden lisäksi ratkeamattomaksi. Esimerkiksi Georg Cantorin kontinuumihypoteesi on todistettu ratkeamattomaksi: se on aksiomaattisen järjestelmän ulkopuolella, ja se voidaan hyväksyä joko todeksi tai epätodeksi ja uudeksi aksioomaksi.

Joistain konjektuureista tiedetään, että ne eivät voi olla ratkeamattomia. Esimerkiksi Goldbachin konjektuuri (kaikki kakkosta suuremmat parilliset kokonaisluvut ovat kahden alkuluvun summa) on tällainen. Jos Goldbachin konjektuuri olisi ratkeamaton, se olisi myös tosi, sillä jos sitä ei voi todistaa epätodeksi, ei ole olemassa paritonta kokonaislukua, joka ei ole kahden alkuluvun summa, mikä taas on konjektuurin väite.