Electrodinámica Cuántica

QED describe los fenómenos qu'impliquen les partícules llétricamente cargaes qu'obren recíprocamente per mediu de la fuercia electromagnético.

Electrodinámica cuántica
rama de la física

 

La QED ye una de les teoríes más precises de cuantos que se crearon nel sieglu XX. Ye capaz de faer predicciones de ciertes magnitúes físiques con hasta venti cifres decimales de precisión, un resultáu poca frecuente nes teoríes físiques anteriores. Por esa razón la teoría foi llamada "la xoya de la física". Ente les sos predicciones más exactes tán:

• El momentu magnéticu anómalu del electrón y del muon, pal cual la ecuación de Dirac predicía un valor d'esautamente'l doble del valor clásicu. Pal electrón la QED prediz un valor:

${\displaystyle c\;}$  ye la velocidá de la lluz nel vacíu.
${\displaystyle \epsilon _{0}\;}$  ye la permitividad llétrica del vacíu.

• El valor del saltu de Lamb nos niveles enerxéticos del átomu d'hidróxenu.

Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman recibieron los premios Nobel de Física de 1965 pol so desenvolvimientu, les sos contribuciones qu'implicaben una prescripción covariante y gauge invariante pal cálculu de cantidaes observables. La téunica matemática de Feynman, basada nes sos diagrames, paecía primeramente bien distinta del enfoque teóricu de campos, basáu n'operadores de Schwinger y Tomonaga, pero foi más palantre demostráu como equivalente. El procedimientu de renormalización pa dar sentíu a delles de les predicciones infinites de la teoría cuántica del campu tamién atopó'l so primera puesta en práutica acertada n'electrodinámica cuántica.

La electrodinámica cuántica ye una descripción detallada de la interacción ente fotones y partícules cargaes de tipu fermiónico. La teoría cuántica comparte ciertes traces cola descripción clásica. Acordies cola descripción de la óptica clásica la lluz viaxa sobre tolos caminos dexaos, y la so interferencia determina los frentes d'onda que s'arrobinen acordies con el principiu de Fermat. Similarmente, na descripción cuántica de los fotones (y los fermiones), estos pasen per cada camín posible dexáu por abertures o sistemes ópticos. En dambos casos l'observador detecta a cencielles la resultancia matemática de la superposición de toles ondes consideraes a lo llargo d'integrales de llinia. Una diferencia ye que na electrodinámica la velocidá efeutiva d'un fotón puede superar la velocidá de la lluz en permediu.

Amás QED foi la primer teoría cuántica del campu na cual les dificultaes pa construyir una descripción completa de campos y de creación y aniquilación de partícules cuántiques, fueron resueltes satisfactoriamente.

Formalismu

 

Matemáticamente, podemos dicir que la electrodinámica cuántica tien la estructura d'una teoría de gauge abeliana, siendo'l grupu de gauge acomuñáu en grupu unitariu ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {O} (1)}$ . El campu de gauge que media la interacción ente campos d'espín -1/2 con carga ye'l campu electromagnéticu.

La evolución temporal d'un sistema de partícules cargaes y fotones puede ser calculada por aciu un cálculo perturbativo. En concretu la comparanza colos esperimentos realizables frecuentemente rique'l cálculu de los elementos de la matriz S que dexen atopar les seiciones eficaces de dispersión pa partícula que puede ser comparada colos resultaos de los esperimentos.

La electrodinámica cuántica amenorga esti tipu de cálculos a un desenvolvimientu perturbativo en serie de potencies que dexa atopar cola precisión deseyada eses seiciones eficaces. Cada unu de los términos perturbativos almite una representación gráfica conocida como diagrama de Feynman. Ello ye que la electrodinámica cuántica foi históricamente la primer teoría onde s'usaron diagrames de Feynman como ayuda nel cálculu perturbativo. La forma de cada unu de los términos perturbativos y, poro, la representación gráfica asociada depende de la forma del lagrangiano que caracteriza dicha teoría (ver más palantre).

La invarianza gauge local ${\displaystyle \mathrm {O} (1)}$ 

Ye interesante reparar como puede topase el lagrangiano de la QED como simple esixencia de que'l lagrangiano d'un fermión llibre con carga llétrica non nula seya invariante gauge local. Sía ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}}$  el lagrangiano del fermión llibre:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}={\dot {\imath }}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi ={\bar {\psi }}({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi }$ 

N'otres pallabres, queremos que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}}$  seya invariante so un tresformamientu local ${\displaystyle \mathrm {O} (1)}$  de manera que'l campu camude como:

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow y^{-{\dot {\imath }}\alpha (x)}\psi (x)}$ 

Nesi casu, la derivada covariante y el gauge van ser:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\dot {\imath }}eA_{\mu }\qquad \therefore \qquad A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }-{\frac {1}{y}}\partial _{\mu }\alpha .}$ 

Con tou esto, quédanos el lagrangiano de la electrodinámica cuántica:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}\left({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi +y{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$ 

Adecuación esperimental

Ye importante señalar que la electrodinámica cuántica nun da valores concretos de lo qu'asocedería nun esperimentu concretu, sinón namái probabilidaes de qu'asoceda un determináu tipu de situación. Ye por eso, que los esperimentos usen un númberu relativamente grande de partícules que son tremaes estadísticamente acordies coles probabilidaes prediches pola teoría. A partir de la distribución de partícules tremaes puede midise la seición eficaz comparable coles predicciones numbériques de la teoría.

Les predicciones de la electrodinámica cuántica fueron confirmaes polos esperimentos hasta un nivel insólitu de precisión: davezu tiénense esperimentos que coinciden en 12 cifres decimales correutes coles predicciones de la teoría. Esto fai de la electrodinámica cuántica la teoría más precisa construyida pol home.

La dinámica y propiedaes básiques d'una teoría de campu depende de la forma escoyida pal lagrangiano. La seleición de lagrangiano depende de les simetríes del grupu de gauge y del fechu de que la teoría describa afechiscamente la interacción ente fermiones cargaos. Nuna teoría que describa campos fermiónicos interactuando por aciu un campu de gauge bosónico acomuñáu a partícules ensin masa (fotones) que'l so grupu de gauge ye conmutativu, el lagrangiano de partida puede tomase como:

(1) ${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -y{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,}$ 

Onde'l campu ferminónico ${\displaystyle \ \psi }$  y el so axuntu de Dirac ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$  son los campos que representen partícules de carga llétrica, específicamente l'electrón y los campos del positrón representaos como espinor de Dirac. La parte del lagrangiano que contién el tensor de campu electromagnéticu describe la evolución llibre del campu electromagnéticu, ente que la ecuación de Dirac cola derivada covariante de gauge describe la evolución llibre de los campos del electrón y del positrón según la so interacción col campu electromagnéticu.

Ecuaciones de movimientu

Les ecuaciones de "movimientu" o ecuaciones d'evolución temporal de la QED pueden llograse por aciu les ecuaciones de Euler-Lagrange del lagrangiano de la teoría. Inxertando esi lagrangiano nes ecuaciones de Euler-Lagrange llógrase la ecuación d'evolución temporal de la teoría:

(2) ${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-y{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}\end{cases}}}$ 

Asitiando los dos términos dientro de la ecuación de Euler-Lagrange resulta finalmente la siguiente ecuación d'evolución pal campu fermiónico:

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =y\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi \,}$

El miembru de la izquierda ye precisamente la ecuación de Dirac y el términu de la derecha representa la interacción col campu electromagnéticu.

Les mesmes ecuaciones de Euler-Lagrange, aplicaes agora al campu ${\displaystyle A^{\mu }}$ , dexen atopar les ecuaciones d'evolución del campu electromagnéticu:

(3) ${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-y{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \end{cases}}}$ 

Y la ecuación d'evolución del campu electromagnéticu resulta finalmente:

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=y{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}$

Onde'l segundu miembru puede ser interpretáu como la densidá de corriente acomuñada al campu fermiónico.

Regles de Feynman

Pa dar cuenta de tolos efeutos cuánticos, ye necesariu reemplazar les componentes de los campos nes anteriores ecuaciones diferenciales por operadores autoadjuntos interpretables como xenuinos operadores cuánticos. Polo xeneral eso lleva a unos sistemes d'ecuaciones que nun sabemos como integrar esautamente, pero qu'almiten un tratamientu perturbativo, descomponiendo l'operador d'evolución temporal ${\displaystyle {\hat {O}}_{QED}=\exp(it{\hat {H}}_{QED})}$  en series de potencies o serie perturbativa.

El cálculu de cada términu de la serie anterior puede realizase de manera cuasi automática cola ayuda de los llamaos diagrames de Feynman, a los que puede acomuñar unes regles de Feynman. La precisión del cálculu depende de cuantos términos considerar na serie perturbativa anterior.

Renormalización

Un seriu problema coles regles de Feynman ye que tal que fueron establecíes per primer vegada conducen a diagrames y términos diverxentes na serie perturbativa, esto ye, términos non finitos qu'echen a perder el cálculu de los términos finitos. Obviamente toles resultaos físiques son finitos y esos términos diverxentes del cálculu nun son observables na realidá. La renormalización ye un conxuntu de regles adicionales qu'interpreten qué rellación esiste ente los términos calculaos y los términos medibles na realidá y xeneren regles adicionales que dexen "normalizar" los cálculos y garantizar que se producen resultaos numbériques finitos comparables cola realidá por aciu esperimentu.

Ye conocíu que'l fechu de qu'una teoría cuántica seya una teoría de campu de gauge confier-y la propiedá de ser renormalizable, nel sentíu de qu'esiste un conxuntu de regles adicionales que dexen esaniciar términos diverxentes non observables y dar llugar a resultaos finitos,la mente nun tien llindes el tiempu si.