تفاضل: فرع من حساب ال والتكامل

يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق

إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس (${\displaystyle m={\Delta y \over \Delta x}}$ )

إذن Δس تؤول إلى صفر (${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ )

أي أن س₂-س₁---->صفر (${\displaystyle x_{2}-x_{1}\rightarrow 0}$ ) أي أن س2---->س1 (${\displaystyle x_{2}\rightarrow x_{1}}$ )

وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة (${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ )

أي أن Δ ص/Δ س: Δس---->صفر (${\displaystyle {\Delta y \over \Delta x}\Longrightarrow \Delta x\rightarrow 0}$ )

= ص₂ - ص₁/س₂ - س₁ : س₂---->س₁ (${\displaystyle \Longrightarrow {y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}\Longrightarrow x_{2}\rightarrow x_{1}}$ )

= ق(س₂) - ق(س₁)/س₂ - س₁ : س₂---->س₁ (${\displaystyle \Longrightarrow {f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}\Longrightarrow x_{2}\rightarrow x_{1}}$ )

ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا

بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر وتكتب صيغة الإشتقاق كالآتي:

${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}{\frac {f(x+\Delta \mathbf {x} )-f(x)}{\Delta \mathbf {x} }}.}$ 

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلًا:

كمتغيرات:

Δس = س₂ - س₁

س₁ = س₂ - Δس

س₂ = Δس + س₁

ونفرض Δس = هـ

أو يمكننا فرض س₂ = ج

ونقوم بدلًا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي أن المعادلة النهائية هي:

ق(س₂) - ق(س₁)\س₂ - س₁ : س₂---->س₁ = ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ----> صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج----> س₁

أوجد مشتقة س²

وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ ----> صفر

ونعوض في المعادلة

س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر

نحل المعادلة

س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= 2س+هـ : هـ---->صفر

= 2س

وفعلا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:

ق(س) = أس^ع+ب س^(ع-1)+...+ج

قَ(س) = (أ×ع)س^(ع-1)+(ب(ع-1))س^(ع-2)+...+0

هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في العلاقات التي لا تمثل اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

فتمثيل الاشتقاق يكون ب (دص\دس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أس^ع+وس^ك+...

أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق (دس\دص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص

أي أن س = أص^ع+وص^ك+...

إذن دص\دس تعبر عن ق(س) وكذلك دس\دص يعبر عن ق(ص)

ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا.

..

إذا أردنا إيجاد دص\دس ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)}$ في الاقتران

ق(س) = س³+3س²-2س+4 ( ${\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-2x+4}$  )

قَ(س) = 3س²+6س-2 (${\displaystyle f'(x)=3x^{2}+6x-2}$ )

وهذا وفقا لتعميم

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²(دس\دص)+6س(دس\دص)-2(دس\دص)

وبما أن دس\دص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2

إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل وكذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات ولقد ابتدع كل من إسحاق نيوتن وجوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل والتكامل ومن ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف علم التفاضل والتكامل وتجدر الإشارة إلى أن جهودهما كانتا منفصلتان كل عن الآخر لذلك فقد ساهم كل منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف وتطور هذا العلم.