Differensiaalrekening: Subveld van kalkulus

Die sentrale tema van die differensiaalrekening is die berekening van lokale veranderinge van funksies, soos hulle hellings en raaklyne. Dit is nou verwant aan die integraalrekening, waarmee dit saam onder die begrip infinitesimaalrekening of kalkulus saamgevat kan word.

Die grondleggende begrip waarop differensiaalrekening gebaseer is, is die afgeleide waarde of bloot afgeleide van 'n funksie (Engels: derivative, Duits: die Ableitung). Daar kan aan die afgeleide as die raaklyn of helling van 'n funksie se grafiek gedink word. In hoër dimensies word die afgeleide veralgemeen tot 'n raakoppervlakte of raakvolume, en in die mees veralgemene geval word die afgeleide deur die lineêre afbeelding beskryf wat die funksie die beste lokaal benader.

Die afgeleide is die verhouding (of eweredigheidssfaktor) tussen 'n nietig-klein verandering van die funksiewaarde as gevolg van 'n nietig-klein verandering van die invoerwaarde. Byvoorbeeld, as ${\displaystyle y=f(x)}$ (so y is 'n funksie van x) dan kan die helling by 'n punt op die grafiek benader word deur:

${\displaystyle {\text{afgeleide}}\approx {\frac {\text{verandering in y}}{\text{verandering in x}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Waar ${\displaystyle \Delta y}$ die nietig-klein verandering in die funksie se waarde is en ${\displaystyle \Delta x}$ die nietig-klein verandering in die invoerwaarde is.

Differensiaalrekening het talle toepassings in wiskunde en veral toegepasde wiskunde (soos die natuurwetenskappe, ingenieurswese, ekonomie, ens). In hierdie velde word dit gebruik om te beskryf hoe waardes relatief tot mekaar verander (byvoorbeeld, hoe saamgestelde rente aanwas namate tyd verbygaan, of hoe 'n gebuigde balk se rigting langs sy lengte af verander). Nog 'n toepassing is die optimering van 'n differensieerbare funksie deur sy maksima en minima (hoogste en laagste punte) te vind. Hierdie punte stem ooreen met die plekke waar die funksiewaarde nie meer verander nie, en die afgeleide nul is.

 

 

Die doelstelling van die differensiaalrekening was al sedert die antieke tyd as die raaklyneprobleem bekend. Een voor die hand liggende benadering bestaan daaruit, om die raaklyne aan 'n kurwe deur snylyne (sogenaamde sekante) oor 'n eindige (eindig beteken in hierdie konteks: groter as nul), maar liefs moontlik kleinste interval te benader (d.w.s. te approksimeer). Sodoende is die tegniese moeilikhede oorwinbaar, wanneer mens met sulke infinitesimaal klein intervallengtes bereken. Die begin van die differensiaalrekening as sodanig dateer terug na Pierre de Fermat. Hy ontwikkel in 1628 'n metode, om die ekstreme punte van algebraïese terme te bepaal en raaklyne aan keëlsnitte en ander kurwes te bereken. Sy „Methode“ was suiwer algebraïes. Fermat het geen limiete (grensoorgange) in aanmerking geneem nie, en ook geen afgeleides nie. Nietemin kan sy metode met moderne analitiese middele geïnterpreteer en regverdig word en het dit wiskundiges soos Newton en Leibniz bewese geïnspireer. Jare later kies René Descartes 'n ander algebraïese vertrekspunt, deurdat hy 'n sirkel (in plaas van 'n reguit lyn) aan 'n kurwe lê. Wanneer die sirkel die kurwe raak, sny dit die kurwe in twee byna aanliggende punte. Hierdie benadering maak dit moontlik vir hom om vir sekere spesiale kurwes die hellings van raaklyne te bepaal.

Aan die einde van die 17de eeu het Isaac Newton sowel as Gottfried Wilhelm Leibniz onafhanklik van mekaar konsekwente berekeninge ontwikkel. Newton benader die probleem egter uit 'n ander hoek as Leibniz. Terwyl Newton die probleem fisies ten opsigte van die oombliklike-snelheidsprobleem benader, pak Leibniz die probleem geometries deur middel van die raaklynprobleem aan. Hulle arbeid verwesentlik die abstraksie van 'n suiwer geometriese voorstelling en word daarom as die begin van analise beskou. Hulle word veral bekend weens die boek van die adellike Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, wat by Johann Bernoulli privaatonderrig ontvang het en sy navorsing rakende analise so gepubliseer het.

Die hedendaagse bekende differensiasiereëls word veral op die werke van Leonhard Euler gebaseer, wat die funksie-begrip ontwikkel het. Newton en Leibniz het met arbitrêr klein positiewe getalle gewerk. Hierdie werkswyse is reeds deur tydgenote as onlogies gekritiseer, byvoorbeeld deur Biskop Berkeley in sy polemiese geskrif The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician. Die differensiaalrekening word nogtans ten spyte van heersende onsekerheide konsekwent verder ontwikkel; in die eerste instansie as gevolg van sy talryke toepassings in fisika en ander wiskundige gebiede.

Eers in die begin van die 19de eeu het Augustin Louis Cauchy aan die differensiaalrekening die hedendaagse gebruiklike logiese nougesetheid verleen, deurdat hy van die infinitesimale groottes wegbeweeg en die afgeleide as grenswaarde (limiet) van snylynhellings (differensiaalkwosiënte) definieer. Die definisie van die grenswaarde wat deesdae gebruik word, word uiteindelik deur Karl Weierstraß aan die einde van die 19de eeu geformuleer.

Inleiding

Uitgangspunt vir die definisie van die afgeleide (ook die differensiaalkwosiënt genoem) is om die gesoekte raaklynhelling deur 'n snylynhelling te benader. Gesoek is die helling van 'n funksie ${\displaystyle f}$  op 'n punt ${\displaystyle (x_{0}\mid f(x_{0}))}$ . Om dit te kry, bereken mens eers die helling van 'n snylyn (sekante) aan ${\displaystyle f}$  oor 'n beperkte interval:

Snylynhelling = ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{(x_{0}+\Delta x)-x_{0}}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$ .

Die snylynhelling is dus die kwosiënt van twee verskille; dit word dus ook die differensiaalkwosiënt genoem. Met die verkorte notasie ${\displaystyle \Delta y}$  vir ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$  kan mens die snylynhelling afgekort as ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$  skryf.

Differensiaalkwosiënte is uit die alledaagse lewe welbekend, byvoorbeeld as die gemiddelde snelheid:

„Op pad van Augsburg na Flensburg was ek om 9:43 (${\displaystyle x_{0}}$ ) by Kreuz Biebelried (daaglikse kilometerstand ${\displaystyle f(x_{0})}$  = 198 km). Om 11:04 (${\displaystyle x_{0}+\Delta x}$ ) was ek aan Dreieck Hattenbach (daaglikse kilometerstand ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)}$ = 341 km). In 1 uur en 21 minute (${\displaystyle \Delta x}$ ) het ek dus 143 km (${\displaystyle \Delta y}$ ) afgelê. My gemiddelde snelheid op hierdie gedeelte beloop dus 143 km / 1,35 h = 106 km/h (${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$ ).“

Om 'n raaklynhelling te bereken (in die bogenoemde voorbeeld sal dit dus die oombliklike snelheid wees), moet mens die twee punte waardeur die snylyn getrek word, voortdurig nader aan mekaar beweeg. Sodoende neig die verskil ${\displaystyle \Delta x}$  sowel as die verskil ${\displaystyle \Delta y}$  al hoe nader na nul. Die kwosiënt ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$  bly egter in baie gevalle groter as nul. Op hierdie limiet of grensoorgang berus die volgende definisie:

Differensieerbaarheid

'n Funksie ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ , wat 'n oop interval U in reële getalle uitbeeld, is differensieerbaar aan die punt ${\displaystyle x_{0}\in U}$ , wanneer die grenswaarde

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$    (met ${\displaystyle h=x-x_{0}}$ )

bestaan. Hierdie grenswaarde, of limiet, is die differensiaalkwosiënt of afgeleide van ${\displaystyle f}$  na ${\displaystyle x}$  aan die punt ${\displaystyle x_{0}}$  en word soos volg genoteer:

${\displaystyle f'(x_{0})}$    of   ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}$    of   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}$    of   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x_{0})}$ 

Hierdie notasies word respektiewelik soos volg uitgespreek: „f streep van x nul“, „d f van x oor d x aan die punt x gelyk aan x nul“, „d f oor d x van x nul“ en „d oor d x van f van x nul“.

Met die verloop van tyd word die volgende ekwivalente definisie gevind, wat in die konteks van komplekse of meerdimensionale funksies meer effektief vertoon:

'n Funksie is op 'n punt ${\displaystyle x_{0}}$  differensieerbaar, indien 'n konstante ${\displaystyle L}$  bestaan, sodat

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}}=0.}$ 

Die groei van die funksie ${\displaystyle f}$ , wanneer mens dit net 'n klein bietjie van ${\displaystyle x_{0}}$  af wegbeweeg, ongeveer die hoeveelheid ${\displaystyle h}$ , kan goed deur ${\displaystyle Lh}$  approksimeer word. Mens noem dus die lineêre funksie ${\displaystyle g}$  met ${\displaystyle g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh}$   ook die linearisering van ${\displaystyle f}$  op die punt ${\displaystyle x_{0}}$ .

'n Verdere definisie: Daar is op die punt ${\displaystyle x_{0}}$  'n kontinue (d.w.s. ononderbroke) funksie ${\displaystyle r}$  met ${\displaystyle r(x_{0})=0}$  en 'n konstante ${\displaystyle L}$ , sodat vir alle waardes van ${\displaystyle x}$  die volgende geld:

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+L(x-x_{0})+r(x)(x-x_{0})}$ .

Die voorwaardes dat ${\displaystyle r(x_{0})=0}$  en dat ${\displaystyle r}$  op die punt ${\displaystyle x_{0}}$  kontinu is, beteken net dat die  „oorskot“ ${\displaystyle r(x)}$  vir ${\displaystyle x}$  naby ${\displaystyle x_{0}}$  na nul konvergeer.

In albei gevalle is die konstante ${\displaystyle L}$  duidelik gedefinieer en geld dit dat ${\displaystyle f'(x_{0})=L}$ . Die voordeel van hierdie formulasie is die feit dat dit eenvoudiger is omdat geen kwosiënt meer geëvalueer hoef te word nie.

Wanneer 'n funksie as differensieerbaar gedefinieer word, sonder om na 'n bepaalde punt te verwys, beteken dit die differensieerbaarheid aan elke punt in die gedefinieerde domein en dus die bestaan van 'n raaklyn vir elke punt op die grafiek.

Elke differensieerbare funksie is kontinu. Die omgekeerde geld egter nie. Nog aan die begin van die 19de eeu was mense oortuig dat 'n kontinue funksie hoogstens aan slegs enkele punte nie differensieerbaar kon wees nie (soos die absolute waarde funksie). Bernard Bolzano word dan die eerste wiskundige om 'n werklike funksie te konstrueer wat orals kontinu is, maar nêrens differensieerbaar is nie. Sy werk word egter nie onder die vakkundiges van sy tyd bekend nie. Karl Weierstraß vind dan in die 1860's 'n soortgelyke funksie wat hierdie keer wel deur ander wiskundiges bestudeer word. 'n Bekende meerdimensionale voorbeeld vir 'n kontinue, maar nie-differensieerbare funksie is die Koch-kurwe, wat in 1904 deur Helge von Koch voorgelê is.

Afgeleide as 'n funksie

Die afgeleide van 'n funksie ${\displaystyle f}$  aan die punt ${\displaystyle x_{0},}$  aangedui deur ${\displaystyle f'(x_{0})}$ , beskryf lokaal die verhouding van die funksie in die omgewing van die in ag genome punt ${\displaystyle x_{0}}$ . Tog sal ${\displaystyle x_{0}}$  nie die enigste punt wees, waarop ${\displaystyle f}$  differensieerbaar is nie. Mens kan dus probeer om vir elke getal ${\displaystyle x}$  vanuit die domein van ${\displaystyle f}$  die afgeleide waarde aan daardie punt (d.w.s. ${\displaystyle f'(x)}$ ) toe te ken. Op hierdie wyse bekom mens 'n nuwe funksie ${\displaystyle f'}$ , wat se domain die versameling ${\displaystyle \Omega }$  van alle punte is, waar die funksie ${\displaystyle f}$  differensieerbaar is. Hierdie funksie ${\displaystyle f'}$  heet die afgeleide funksie, of kortom die afgeleide van ${\displaystyle f}$  en mens sê dat  „${\displaystyle f}$  oor ${\displaystyle \Omega }$  differensieerbaar is“.

Byvoorbeeld het die kwadraatfunksie ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$  op die lukrake punt ${\displaystyle x_{0}}$  die afgeleide ${\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0},}$  die kwadraatfunksie is dus op die versameling van reële getalle differensieerbaar. Die gepaardgaande afgeleide funksie ${\displaystyle f'}$  word aangedui deur ${\displaystyle f'\colon x\mapsto 2x}$ .

Die afgeleide funksie is normaalweg anders as die oorspronklike, 'n enkele uitsondering is die produk ${\displaystyle k\cdot e^{x}}$  van die eksponensiële funksie.

Indien die afgeleide funksie kontinu is, dan heet ${\displaystyle f}$  kontinu-differensieerbaar. Met verwysing tot die notasie ${\displaystyle C(\Omega )}$  vir die totaliteit (die ruimte) van kontinue funksies met gedefineerde versameling ${\displaystyle \Omega }$ , word die ruimte van kontinu-differensieerbare funksies met ${\displaystyle C^{1}(\Omega )}$  afgekort.

Die berekening van die afgeleide van 'n funksie word differensiasie genoem; mens differensieer die funksie.

Om die afgeleide van elementêre funksies (bv. ${\displaystyle x^{n}}$ , ${\displaystyle \sin(x)}$ ,…) te bereken, bly mens streng by die bo-gegewe definisie en bereken mens eksplisiet die differensiaalkwosiënt en laat dan ${\displaystyle \Delta x}$  na nul beweeg. Die tipiese wiskunde gebruiker doen hierdie eksplisiete berekeninge slegs 'n paar maal in sy lewe. Later ken hy die afgeleides van die belangrikste elementêre funksies uit sy kop en kyk minder bekende afgeleides op in 'n tabel, en bereken saamgestelde funksies met die hulp van differensiasiereëls.

Die berekening van 'n afgeleide

Gesoek is die afgeleide van ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+2}$ . Dan bereken mens die differensiaalkwosiënte soos volg:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\\&={\frac {{\bigl (}(x_{0}+\Delta x)^{2}-3(x_{0}+\Delta x)+2{\bigr )}-(x_{0}^{2}-3x_{0}+2)}{\Delta x}}\\&={\frac {x_{0}^{2}+2x_{0}\Delta x+\Delta x^{2}-3x_{0}-3\Delta x+2-x_{0}^{2}+3x_{0}-2}{\Delta x}}\\&={\frac {2x_{0}\Delta x+\Delta x^{2}-3\Delta x}{\Delta x}}\\&=2x_{0}+\Delta x-3.\end{aligned}}}$ 

en bekom in die limiet ${\displaystyle \Delta x\to 0}$  die afgeleide van die funksie

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}(2x_{0}+\Delta x-3)=2x_{0}-3.}$ 

Nie-differensieerbare funksie

${\displaystyle f(x)=|x|}$  is op die punt 0 nie differensieerbaar nie:

Vir alle ${\displaystyle x>0}$  geld naamlik ${\displaystyle f(x)=x}$  en dus

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1}$ .

Vir alle ${\displaystyle x<0}$  geld daarenteen ${\displaystyle f(x)=-x}$  en gevolglik:

${\displaystyle \lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1}$ .

Aangesien die twee grenswaardes, die een word van kleiner as nul en die ander van groter as nul benader, nie ooreenstem nie, bestaan die limiet nie. Die funksie ${\displaystyle f}$  is dus by die in ag genome punt nie differensieerbaar nie. Die differensieerbaarheid van die funksie aan alle ander punte is daarenteen wel 'n gegewe.

Aan die punt 0 bestaan tog die regterhandse afgeleide:

${\displaystyle f'_{+}(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1}$ 

en die linkerhandse afgeleide

${\displaystyle f'_{-}(0)=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1}$ .

Beskou mens die grafiek van ${\displaystyle f}$ , so kom mens tot die besef dat die begrip "differensieerbaarheid"  grafies beteken dat die gepaardgaande grafiek knakvry (sonder kinkels) loop.

'n Tipiese voorbeeld vir 'n nêrens differensieerbare kontinue funksie, wat aanvanklik vir wiskundiges moeilik voorstelbaar was, is alle paaie van die Brown se beweging. Dit word byvoorbeeld vir die modellering van grafieke van aandelebeurse gebruik.

Funksies wat nie kontinu-differensieerbaar is nie

 

'n Funksie heet kontinu-differensieerbaar wanneer sy afgeleide kontinu is. Selfs wanneer 'n funksie orals differensieerbaar is, beteken dit nie dat die afgeleide kontinu is nie. Byvoorbeeld is die volgende funksie

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{vir }}x\neq 0\\0&{\text{vir }}x=0\end{cases}}}$ 

aan elke punt, insluitend ${\displaystyle x=0}$ , differensieerbaar. Die afgeleide, wat aan die punt 0 oor die differensiaalkwosiënte bepaal kan word:

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x\cos \left({\frac {1}{x}}\right)+\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{vir }}x\neq 0\\0&{\text{vir }}x=0\end{cases}}}$ 

is egter aan die punt 0, nie kontinu nie.

Differensiasiereëls

Die differensiasie van saamgestelde funksies, bv. ${\displaystyle \sin(2x)}$  of ${\displaystyle x^{2}\cdot \exp(-x^{2})}$ , kan uitgevoer word deur differensasiereëls toe te pas op die elementêre funksies waaruit die saamgestelde funksie saamgestel is.

Met die volgende reëls kan mens die afgeleide van 'n saamgestelde funksie dan bereken deur die eenvoudiger funksies waaruit dit bestaan afsonderlik af te lei.

Laat ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$  en ${\displaystyle h}$  (in 'n gedefinieerde ruimte) differensieerbare, reële funksies wees, ${\displaystyle n}$  en ${\displaystyle a}$  is reële getalle, dan geld:

Konstante funksie
${\displaystyle \left(a\right)'=0}$ 

Konstante faktor reël
${\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}$ 

Somreël
${\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}$ 

Vermenigvuldigingsreël
${\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}$ 

Kwosiëntereël
${\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}$ 

Resiprokereël
${\displaystyle \left({\frac {1}{h}}\right)'={\frac {-h'}{h^{2}}}}$ 

Magsverheffingreël
${\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}$ 

Kettingreël
${\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}$ 

Omkeerreël
Is ${\displaystyle f}$  'n differensieerbare, bijektiewe funksie aan die punt ${\displaystyle x_{0}}$ , met ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ , en sy Omkeerfunksie ${\displaystyle f^{-1}}$  by ${\displaystyle f(x_{0})}$  differensieerbaar, dan geld

${\displaystyle (f^{-1})'(f(x_{0}))={\frac {1}{f'(x_{0})}}.}$ 
Wanneer mens 'n punt ${\displaystyle P}$  van 'n grafiek van ${\displaystyle f}$  weerspieël, sodat 'n eweredige lyn tussen die twee punte die hoek tussen die x en f(x) asse halveer, om daarmee ${\displaystyle P^{*}}$  op ${\displaystyle f^{-1}}$  te kry, dan is die helling van ${\displaystyle f^{-1}}$  in ${\displaystyle P^{*}}$  die omgekeerde van die helling van ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle P}$ 

Logaritmiese afgeleide
Uit die kettingreël volg vir die afgeleide van 'n natuurlike logaritme van 'n funksie ${\displaystyle f}$ :
${\displaystyle (\ln(f))'={\frac {f'}{f}}}$ 
'n Breuk in die vorm ${\displaystyle f'/f}$  word die logaritmiese afgeleide genoem.

Afleiding van die ekponensiële funksie
Om ${\displaystyle {\mathsf {}}f(x)=g(x)^{h(x)}}$  af te lei, moet mens onthou dat magsverheffings met reële eksponente met 'n ompad oor die eksponensiële funksie gedefinieer is: ${\displaystyle {\mathsf {}}f(x)=\exp {\Big (}h(x)\cdot \ln(g(x)){\Big )}}$ .
Toepassing van die kettingreël en – vir die binneste afgeleide – die vermenigvuldigingsreël gee dan:
${\displaystyle f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}}$ .

Leibniz se reël
Die afleiding van die ${\displaystyle n}$ -de orde vir 'n produk uit twee tot die mag ${\displaystyle n}$  differensieerbare funksies ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle g}$  word gegee deur
${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$ .
Hierdie uitdrukkings in die vorm ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  is binomiaalkoëffisiënte.

Hoofstelling van die analise

Die essensiële prestasie van Leibniz was die besef, dat integrasie en differensiasie saamhang. Dit formuleer hy in die hoofstelling van die differensiaal- en integraalrekening, ook bekend as die hoofstelling van analise. Dit lui soos volg:

Gegewe 'n interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ , 'n kontinue funksie ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$  en 'n arbitrêre punt ${\displaystyle a\in I}$ , dan is die funksie

${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ 

kontinu-differensieerbaar en sy afgeleide funksie ${\displaystyle F'}$  is gelyk aan ${\displaystyle f}$ .

Hiermee is dus 'n inleiding tot integrasie moontlik: Gesoek is 'n funksie ${\displaystyle F}$ , waarvan die afgeleide ${\displaystyle F'}$  die integrand ${\displaystyle f}$  is. Dan geld:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$ 

Middelwaardestelling van die differensiaalrekening

'n Verdere sentrale stelling van die differensiaalrekening is die middelwaardestelling, wat deur von Cauchy bewys is.

Laat dit wees dat ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$  'n kontinue funksie is wat op die geslote interval ${\displaystyle [a,b]}$  (met ${\displaystyle a$ ) gedefinieer is. Buitendien is die funksie ${\displaystyle f}$  in die oop interval ${\displaystyle (a,b)}$  differensieerbaar. Onder hierdie voorwaardes kom ten minste een ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ , sodat

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

geld.

Indien die afgeleide van 'n funksie${\displaystyle f}$  self ook differensieerbaar is, dan kan mens die tweede afgeleide van ${\displaystyle f}$  as afgeleide van die eerste definieer. Op dieselfde wyse kan dan ook 'n derde, vierde en verdere afgeleides gedefinieer word. 'n Funksie is dus dienooreenkomstig eenmaal differensieerbaar, tweemaal differensieerbaar ensovoorts.

Die tweede afgeleide het talryke fisiese en praktiese toepassings. Byvoorbeeld is die eerste afgeleide van die ligging ${\displaystyle x(t)}$  met betrekking tot tyd, die oombliklike snelheid, terwyl die tweede afgeleide die versnelling is. Uit die fisika kom die skryfwyse ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ , (uitspraak: ${\displaystyle x}$  punt van t), vir afgeleides van 'n funksie van tyd.

Wanneer politici of ekonome oor 'n "verlangsaming in die groei van die werkloosheidssyfer" praat, dan verwys hulle na die tweede afgeleide (die verandering in die groeikoers). Die eerste afgeleide is die groeikoers (m.a.w. die styging) van werkloosheid.

Verdere afgeleides kan op drie verskillende maniere geskryf word:

${\displaystyle f''=f^{(2)}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad f'''=f^{(3)}={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}},\quad \ldots }$ 

of in 'n praktiese geval (m.a.w. wanneer met betrekking tot tyd afgelei word):

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},\quad {\overset {\dots }{x}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}\ .}$ 

Histories waar daar verskillende notasies om die afgeleide van 'n funksie voor te stel. In hierdie artikel is hoofsaaklike die notasie ${\displaystyle f'}$  vir die afgeleide van ${\displaystyle f}$  gebruik. Hierdie notasie dateer terug tot die wiskundige Joseph-Louis Lagrange, wat dit in 1797 bekendstel. Met hierdie notasie word die tweede afgeleide van ${\displaystyle f}$  met ${\displaystyle f''}$  en die ${\displaystyle n}$ -de afgeleide met ${\displaystyle f^{(n)}}$  noteer.

Isaac Newton – tesame met Leibniz die uitvinder van die differensiaalrekening – het die eerste afgeleide van ${\displaystyle x}$  met ${\displaystyle {\dot {x}}}$  genoteer, en dienooreenkomstig noteer hy die tweede afgeleide met ${\displaystyle {\ddot {x}}}$ . Deesdae word hierdie skryfwyse hoofsaaklike in die fisika, insbesonder meganika, vir die afgeleide met betrekking tot tyd gebruik.

Gottfried Wilhelm Leibniz het vir die eerste afgeleide van ${\displaystyle f}$  (met betrekking tot die veranderlike ${\displaystyle x}$ ) die notasie ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}$  gebruik. In hierdie geval word nie 'n breukdeel bedoel nie. Die notasie word gelees as "d f van x na dx". Vir die tweede afgeleide noteer Leibniz ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)}$  en die ${\displaystyle n}$ -de afgeleide ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}(x)}$ .

Die notasie ${\displaystyle Df}$  of ${\displaystyle D_{x}f(x)}$  vir die eerste afgeleide van ${\displaystyle f}$  keer terug tot Leonhard Euler. In hierdie notasie word die tweede afgeleide deur ${\displaystyle D^{2}f}$  of ${\displaystyle D_{x}^{2}f(x)}$  en die ${\displaystyle n}$ -de afgeleide deur ${\displaystyle D^{n}f}$  of ${\displaystyle D_{x}^{n}f(x)}$  genoteer.

Minima en maksima

 

Een van die belangrikste toepassings van die differensiaalrekening is die bepaling van ekstreme waardes (maksima en minima), meestal vir die optimering van prosesse. Hierdie waardes kom onder andere voor by monotone funksies aan die rand van die gedefinieerde domein, maar meer algemeen gesien, aan die punt waar die afgeleide nul is. 'n Funksie kan 'n maksimum of 'n minimumwaarde hê, sonder dat die afgeleide op daardie punt bestaan. In die volgende voorbeelde word egter slegs minstens lokaal differensieerbare funksies in ag geneem. Byvoorbeeld neem ons die polinoomfunksie ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle {f(x)}={\frac {1}{3}}x^{3}-2x^{2}+3x.}$ 

Die boonste grafiek wys die paaie van ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle f'}$  en ${\displaystyle f''}$  .

Horisontale raaklyne

Wanneer 'n funksie ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$  met ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$  op 'n punt ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$  sy grootste waarde het, en dit dus geld dat vir alle ${\displaystyle x}$  in hierdie interval ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ , en wanneer ${\displaystyle f}$  op die punt ${\displaystyle x_{0}}$  differensieerbaar is, so kan die afgeleide daar slegs gelyk aan nul wees: ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ . 'n Dienooreenkomstige stelling geld indien ${\displaystyle f}$  by ${\displaystyle x_{0}}$  die kleinste waarde bevat.

Die geometriese betekenis van hierdie Stelling van Fermat is, dat die grafiek van die funksie in lokale ekstreempunte (maksima en minima) 'n raaklyn ewewydig met die ${\displaystyle x}$ -as, oftewel 'n horisontale raaklyn besit.

Dit is hierdeur vir differensieerbare funksies 'n noodwendige vereiste dat vir die voorkoms van 'n ekstreempunt, die afgeleide aan daardie betrokke punt 'n waarde van 0 sal aanneem.

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})=0}$ 

Die omgekeerde gevolgtrekking, dat aan 'n punt waar die afgeleide nul is, 'n ekstreempunt bereik is, kan egter nie gemaak word nie aangesien die funksie daar byvoorbeeld 'n sogenaamde saalpunt (Engels "saddlepoint") of wending kan hê.

Die vereiste ter voorbeeld

Ter voorbeeld is

${\displaystyle f'(x)=x^{2}-4\cdot x+3.}$ 

Daaruit volg dat ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$  vir ${\displaystyle x=1}$  en ${\displaystyle x=3}$  geld. Die funksiewaardes aan die invoere is  ${\displaystyle f(1)=4/3}$  en ${\displaystyle f(3)=0}$ , dit beteken dat die kurwe aan die punte ${\displaystyle (1\mid 4/3)}$  en ${\displaystyle (3\mid 0)}$  horisontale raaklyne het, en slegs daar.

Aangesien die volgende

${\displaystyle f(0)=0,\quad f(1)={\frac {4}{3}},\quad f(3)=0,\quad f(4)={\frac {4}{3}}}$ 

afwisselend uit klein en groot waardes bestaan, moet in hierdie gebied 'n hoogtepunt en 'n laagtepunt lê. Volgens Fermat se stelling het die Kurwe by hierdie punte 'n horisontale raaklyn, dus kom slegs die bo vasgestelde punte ter sprake: Dus is ${\displaystyle (1\mid 4/3)}$  'n hoogtepunt en ${\displaystyle (3\mid 0)}$  'n laagtepunt.

Differensiaalvergelykings

'n Verdere belangrike toepassing van die differensiaalrekening word aangetref in die wiskundige modellering van fisiese prosesse. Groei, beweging of kragte het alles met afgeleide waardes te doen. Hulle formele beskrywings moet dus ook differensiale bevat. Tipies lei hierdie beskrywings tot vergelykings, waarin afgeleides van 'n onbekende funksie voorkom, d.w.s. differensiaalvergelykings.

Byvoorbeeld koppel die Newtonse bewegingswet

${\displaystyle {\vec {F}}(t)=m{\vec {a}}(t)=m{\ddot {\vec {s}}}(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ 

die versnelling ${\displaystyle {\vec {a}}}$  van 'n liggaam met sy massa ${\displaystyle m}$  en die daaropwerkende krag ${\displaystyle {\vec {F}}}$ . Die fundamentele probleem van Meganika is dus om, gegewe 'n sekere versnelling, die ligging (oordsfunksie) van 'n liggaam (terugwerkend) te bepaal. Hierdie taak, 'n omkering van die dubbelafgeleide, het die wiskundige voorkoms van 'n differensiaalvergelyking van die tweede orde. Die wiskundige moeilikheid van hierdie probleem berus daarop dat die ligging, spoed en snelheid vektore is, wat in die algemeen nie in dieselfde rigting wys nie en dat die krag van sowel die tyd ${\displaystyle t}$  as van die ligging ${\displaystyle {\vec {s}}}$  kan afhang.

Voorbeeld vir die toegepaste differensiaalrekening

 

In die mikroekonomie word byvoorbeeld verskeie tipes produksiefunksies geanaliseer, om daaruit bevindinge vir makroekonomiese verhoudings te bepaal. Hier is veral die tipiese gedrag van 'n produksiefunksie van belang: Hoe reageer die onafhanklike veranderlike, die uitset ${\displaystyle y}$  (m.a.w. die geproduseerde hoeveelheid van 'n item), wanneer die invoer ${\displaystyle x}$  (die produksiefaktor, byvoorbeeld arbeid of kapitaal) om 'n (infinitesimaal-) klein eenheid verhoog word?

'n Basiese tipe van 'n produksiefunksie is iets soos die neoklassieke produksiefunksie. Hierdie funksie illustreer hoe die uitset by elke addisionele invoer styg, maar dat die groeikoers daal. Daar is byvoorbeeld vir 'n bedryf die volgende produksiefunksie

${\displaystyle y=f(x)={\sqrt {4x-400}}\quad {\text{vir }}x\geq 100}$ 

van toepassing. Die eerste afgeleide van hierdie funksie kan van die Kettingreël afgelei word

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}({4x-400})^{-{\frac {1}{2}}}\cdot 4={\frac {2}{\sqrt {4x-400}}}}$ .

Aangesien die wortel van die eerste afgeleide slegs positief kan wees, sien mens dat die bedrag by elke addisionele invoer sal styg. Die tweede afgeleide gee

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=2\left(-{\frac {1}{2}}\right)({4x-400})^{-{\frac {3}{2}}}\cdot 4=-{\frac {4}{\sqrt {(4x-400)^{3}}}}}$ .

Hierdie funksie word vir alle invoere negatief, wat wys dat die groeikoers (d.w.s. die spoed van verandering in groei of aanwassing) vir alle invoere negatief is. Mens kon dus sê dat by stygende invoer die uitsette onderproporsioneel styg. Die relatiewe verandering van die uitset in verhouding tot 'n relatiewe verandering in die invoer word hier deur die elastisiteit ${\displaystyle \varepsilon _{y,x}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\cdot {\frac {x}{y}}}$  weergegee.

Tot dusver is nog slegs van reële funksies gepraat. Vir die differensieerbaarheid van funksies met komplekse argumente word eenvoudig die definisie met die linearisering gebruik. Hier is die vereiste baie meer beperkend as met reële getalle: So is byvoorbeeld die bedragsfunksie nêrens kompleks differensieerbaar nie. Gelyktydig is elke, in 'n omgewing eenmaal kompleks-differensieerbare funksie, outomaties 'n arbitrêre hoeveelheid verder differensieerbaar. Daar bestaan dus hoër afgeleide funksies.

Alle vorige berekeninge was van funksies met 'n enkele veranderlike, d.w.s. met een reële of komplekse getal as argument. Funksies wat vektore na vektore, of vektore na getalle transformeer, kan soortgelyk ook afgeleide funksies hê. In hierdie geval is die afgeleide die lineêre afbeelding wat die funksie plaaslik die beste benader (indien so afbeelding bestaan).

Parsiële afgeleides

Ons beskou 'n funksie, wat die transformasie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  bewerkstellig. Een voorbeeld is die temperatuurfunksie: Afhanklik van die ligging, word die temperatuur in 'n kamer gemeet, om sodoende die effektiwiteit van die verhitting te meet. Wanneer die termometer in 'n bepaalde rigting beweeg word, kan 'n verandering in die temperatuur vasgestel word. Hierna verwys die sogenaamde rigtingsafgeleide. Die rigtingsafgeleide in spesiale rigtings, naamlik die koordinaatsasse, noem mens die parsiële afgeleides (oftewel rigting-selektiewe afgeleides).

In totaal kan daar vir 'n funksie met ${\displaystyle n}$  veranderlikes  ${\displaystyle n}$  parsiële afgeleides bereken word:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {f(x_{1},\dots ,x_{i}+\Delta x_{i},\dots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}};\quad i\in \{1,\dots ,n\}}$ 

•  'n Oordrag van die begrip van afgeleide funksies of waardes op ander ringe as ${\displaystyle \mathbb {R} }$  en ${\displaystyle \mathbb {C} }$  is die derivasie.
• Die differensrekening pas die differensiaalrekening toe op rye.

Hierdie artikel is in sy geheel of gedeeltelik vanuit die Duitse Wiki vertaal.

• Henri Cartan: Differentialrechnung. (de) Bibliographisches Institut, Mannheim 1974. ISBN 3-411-01442-3
• Henri Cartan: Differentialformen. (de) Bibliographisches Institut, Mannheim 1974. ISBN 3-411-01443-1
• Henri Cartan: Elementare Theorien der Analytischen Funktionen einer und mehrerer Komplexen Veränderlichen. (de) Bibliographisches Institut, Mannheim 1966, 1981. ISBN 3-411-00112-7
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bde. (de) Springer 1928, ⁴1971. ISBN 3-540-02956-7
• Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. Bd. 1. Vieweg, Braunschweig 1972. ISBN 3-528-18290-3
• Gregor M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I-III (de) Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1990–2004. ISBN 978-3-8171-1418-4 (kompletter Satz)
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. (de) Vieweg, Braunschweig ⁶2005. ISBN 3-528-47231-6
• Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Wladimir I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik (Teil 1-5). Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1995–2004. ISBN 978-3-8171-1419-1 (kompletter Satz)
• Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis. 2 Bde. Binomi, Springe 1993. ISBN 3-923923-50-3, ISBN 3-923923-52-X
• Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Bd. 1. (de) Akademie-Verlag, Berlin 1994, ³2000. ISBN 3-527-40309-4
• Günter Bärwolff (unter Mitarbeit von G. Seifert): Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. (de) Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, München 2006. ISBN 3-8274-1688-4
• Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Bd. 1. (de) Vieweg, Wiesbaden 2004. ISBN 3-528-44355-3
• Klaus Weltner: Mathematik für Physiker. (de) Bd. 1. Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-29842-8
• Peter Dörsam: Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. (de) PD-Verlag, Heidenau 2010 (15. Auflage). ISBN 978-3-86707-015-7

• (ε, δ)-definisie van 'n limiet

•  'n Nutsprogram vir die berekening van afgeleides en stamfunksies van funksies met 'n enkele veranderlike (en)