否定證明

一般數學句子都會有佢嘅相反，但係咩係一句句子嘅完全相反，就需要用到邏輯學幫手。

定義

一句句子「${\displaystyle A\implies B}$ 」嘅否定（Contrapositive）係「${\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}$ 」。

例子

• 「我阿媽係女人。」嘅否定係「唔係女人嘅就一定唔係我阿媽。」
• 「我食飯，就會飽。」嘅否定係「我唔飽，即係我冇食飯。」

理論

證明出「${\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}$ 」，即係證明出「${\displaystyle A\implies B}$ 」。

證明「假設 ${\displaystyle x^{2}}$  係雙數，${\displaystyle x}$  都會係雙數。」

證明：

否定句：「如果 ${\displaystyle x}$  唔係雙數，咁 ${\displaystyle x^{2}}$  都唔係雙數。」

換句話講，即係「如果 ${\displaystyle x}$  係單數，咁 ${\displaystyle x^{2}}$  都係單數。」

因為 ${\displaystyle x}$  係單數，所以 ${\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }$  係個整數。

${\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1}$ 

因為 ${\displaystyle 2k^{2}+2k}$  係個整數，所以 ${\displaystyle x^{2}}$  係單數。

如果 ${\displaystyle A,B,C,D}$  都係集（Set），而佢哋符合 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$  同埋 ${\displaystyle x\in C}$ 。證明如果 ${\displaystyle x\notin A}$ ，咁就 ${\displaystyle x\in D}$ 。

證明：

如果用直接證明，會好撈絞。

如果利用否定證明，即係假設 ${\displaystyle x\notin D}$ 。

因為本身 ${\displaystyle x\in C}$ ，而 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$ ，所以 ${\displaystyle x\in A\cap B}$ 。

咁 ${\displaystyle x\in A}$  一定成立。

反證法就係：假設 ${\displaystyle A}$  啱，${\displaystyle A\implies B}$ ，又發現 ${\displaystyle B}$  唔啱。於是乎證明到 ${\displaystyle A}$  唔啱。

否定證明就係：證明到 ${\displaystyle A\implies B}$  啱。於是乎證明到 ${\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}$  啱。

以下命題都係用否定證明證出嚟：

• 假設 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$  都係自然數。如果 ${\displaystyle xy}$  係單數，咁 ${\displaystyle x}$  同 ${\displaystyle y}$  都係單數。
• 假設 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$  都係實數。如果 ${\displaystyle x+y}$  係無理數，咁 ${\displaystyle x}$  或者 ${\displaystyle y}$  係無理數。

• 直接證明
• 分類證明
• 數學歸納法
• 反證法

• Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204.