分類證明

好多好有用嘅定理都需要用到分類證明嚟證明，例如三角形不等式、絕對值等。

要求：證明「任何整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$  係一個單數。」

因為整數一係單數一係雙數，而喺以上兩個個案入面 ${\displaystyle n^{2}+3n+7}$  都係一個單數，所以「任何整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$  係一個單數。」呢句命題成立。

以下嘅定理可以用分類證明簡單咁證出嚟。

• 任何一個平方都係，對應某啲 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ，「${\displaystyle 3k}$ 」或者「${\displaystyle 3k+1}$ 」是但一個樣。
• 任何一個三次方都係，對應某啲 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ，「${\displaystyle 9k}$ 」、「${\displaystyle 9k+1}$ 」或者「${\displaystyle 9k+8}$ 」是但一個樣。
• 設 ${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$  做一個集。「${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\backslash B)\cup (B\backslash A)}$ 」
• ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$ 
• ${\displaystyle {\bigl |}{\frac {x}{y}}{\bigr |}={\frac {|x|}{|y|}}}$ 
• ${\displaystyle ||x|-|y||\leq |x-y|}$ 
• ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ 
• 證明最高值函數（Maximum Function），${\displaystyle \max(x,y)}$ ，係 ${\displaystyle {\frac {x+y+|x-y|}{2}}}$ 。
• 證明最低值函數（Minimum Function），${\displaystyle \min(x,y)}$ ，係 ${\displaystyle {\frac {x+y-|x-y|}{2}}}$ 。

• 直接證明
• 否定證明
• 數學歸納法
• 矛盾證明

• Kleene, S. C. (1934). Proof by cases in formal logic. Annals of Mathematics, 529-544.