整數

咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 整數，自然數及其負也。聚以成集，記曰Z{\displaystyle \mathbb {Z} }。 整數有三：正整數，零，負整數也。正整數者，自然數也；負整數者，自然數之負也（泰西記曰「−n」，而n為自然數也。）……

整數數列線上大全（英語：On-Line Encyclopedia of Integer Sequences，略云OEIS）者，實體之以整數數列也，可示小數展開，如圓周率、歐拉數爾爾，亦有非十進制之展開者。亦有理化數據者，甚至雜事。然以數列爲主。 整數數列線上大全官網 π之十進制展開 e之十進制展開……

非整數進制者，基數不以整數也。 夫二進制，三進制，六進制，十進制爾爾，整數進制也。即滿 K {\displaystyle \mathrm {K} } 進1，且有 ( K − 1 ) ∈ N ∗ {\displaystyle \mathrm {(K-1)} \in \mathrm {N^{*}} } （……

代數數者，整數多項式之根也。聚以成集，記曰A{\displaystyle \mathbb {A} }。複數而非代數數者，曰超越數。整數多項式者，多項式內凡系數皆整數者也。 代數整數者，隅為一之整數多項式之根也。 負一開方，代數整數也。（多項式為x2+1=0{\displaystyle……

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 分數，整數之比也，舊曰有理數。聚以成集，則記曰 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 。 問：何謂六分之九？答曰：米一斗，六分之，各有斗六分之一，……

〇者，表虛無、虛空之整數也。其前接者為負一，後續者為一。可書零。 若夫〇者，自然數耶？非自然數耶？無定案也。數論之中，不屬自然數；集合論、計算機科學中，屬自然數也。 〇者，實數也。 〇者，非正亦非負也。 〇者，偶數也。 〇之絕對值為〇。 〇之階乘為一。 凡數以〇加減皆得斯數。 凡數以〇乘皆得〇。 凡數以〇除皆未定義。……

補集者，二集之差也，亦曰差集。 凡乙（B）之元素不在甲（A）者，盡收一集，是為補集（記曰「B \ A 或 B − A」），或曰「乙去甲」。 整數集去偶數者，奇數集是也。 偶數集去整數者，空集是也。 「金、木、土」之集去「水、火、土」者，「金、木」之集是也。（記曰「{a, b, e} \ {c, d, e} =……

a_{-3}a_{-2}a_{-1}.a_{0}a_{1}a_{2}\ldots }），每項可為零一二三四五六。其四則與實數類同。若項零之前皆為零，此乃七進整數是也。 夫實數乃分數之柯西序列。進數亦然，惟用不同之度量也。 取一分數，七在子之幕除七在母之幕（記曰「|±pkr/s|=p−k{\displaystyle……

數，計也。古以自然數為數，然後有分數、整數、實數、複數、代數數、超越數、四元數、八元數、超實數、超複數。 只列維基大典所有者。 基數定義有二，其一可作序數觀。 序數何作康威數觀，然引伸之說，尚有爭議。見康威數一文。……

若合乎交換律，即甲乘乙必同乎乙乘甲者，則曰交換群，亦曰阿貝爾群。 整數集合其加法，交換群也，其「一」為零。 整數集合其乘法，非群也。蓋若為群，其「一」必為一，而二無逆耳。 偶數集合其加法，非群也，蓋無「一」耳。 「負一，零，一」合整數加法，非群也，蓋一加一不存耳。合三同餘加法，則群也。 整數集，取「甲乘乙」為甲加乙加一（「x o……

九者，整數也。其前接者為八，後續者為十。可書玖。有長久之意。 合數之四，其因數乃：一、三、九 平方數 最小之奇數合數 幸運數之四……

由正數之法，推任意實數之四則，猶自然數入整數也。詳見整數一文。不同者，獨求商法也。 求和者，異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。求差者，同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。求積者，同名正之，異名負之。求商者，同名正之，異名負之。去其名，曰絕對值。 當世數學，空集生自然數，然後整數、分數、實數、複數。然分數何生實數？……

八者，整數也。其前接者為七，後續者為九。可書捌。多謂其為多財之兆。 合數之第三，其因數有：一、二、四、八。 立方數之第二。 費波納奇數列之第七。 正八面體乃一柏拉圖立體。……

甲乙二集，直積之基數為基數之積也（「|A x B|=|A| x |B|」）。 須知基數未有減除也。 一︰「甲，乙，丙，丁」之集，基數為四。 二︰空集者，無物之集也，基數為零。 三︰倍者，整數一一對應偶數也，故整數集之基數同乎偶數集。然若集之基數同乎其真子集，即無窮集合之象也。 四︰自然數之基數小於實數也。……

十。泰西疇人念其功績，名交換群為阿貝爾群也。 整數合加法，分數合加法，正數合乘法，非零複數合乘法，同餘集合加法，俱交換群也。 取一集合，含此集之群最小者，曰集之生成群。有限集之生成群，曰有限生成群。 「有限生成交換群基本定理」云：有限生成交換群，乃整數群與同餘群之直積也。（「G≅Z⊕⋯⊕Z⊕Zn1……

天文紀年者，紀年之法也。基於公元紀年法，但有〇年，為計算便利之故。天文學常用之，故有此名。 天文紀年無公元前後之分，但以整數示年。〇年乃公元前一年，其後則與公元同，其前則以負整數示之，如負一年乃公元前二年，與公元有一歲之差。  天文紀年一文似未成。宜善之。……

十者，整數也。其前接者為九，後續者為十一。可書拾。亦有滿足、完滿之意。 合數之第五，其因數乃：一、二、五、十 半質數之第四 屬有形數 三角形數之第四 中心三角形數之第三 四面體數之第三 首個兩位數之哈沙德數 佩蘭數列之第九項 快樂數之第三 以九以上為底之進位制中，十以A表之，例:A(12) 十進制乃以十為本之數字系統……

。十九世紀中，任教柏林大學，執德國數學之牛耳。善理則，世譽為直觀主義先驅；然直觀主義者，結構論也，謂存在證明不合理則。曰：「神作整數，他者皆人為耳。」，故分析、算術始於整數。由是，病超越數、無處可微連續函數，尤惡集論，致與門生康托爾反目。 克氏善數論、分析，立克羅內克函數、克羅內克積、克羅內克－韋伯定理、克羅內克定理、克羅內克引理。……

「相似」，三角之等價也。 「甲丁之和同乎乙丙之差」，自然數對，甲乙等價丙丁也。其等價類，整數也。 「甲丁之積同乎乙丙之積」，分數對，甲乙等價丙丁也。其等價類，分數也。 「同趨向一點」，分數柯西序列之等價也。其等價類，實數也。 「除以七，餘數同耳」，整數之等價也。其等價類，七同餘也。 「一一對應」，集之等價也。其等價類，基數也。……

今有整數，階而乘之，相鄰為質數。該質數謂之曰階乘質數也，以二、三、五、七、二十三、七百一十九始。  階乘質數一文似未成。宜善之。……