Hàm Đếm Số Nguyên Tố

Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố. Nó được Gauss và Legendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với

${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}$ 

theo nghĩa

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.}$ 

Phát biểu này là nội dung của định lý số nguyên tố. Một tuyên bố tương đương là

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}$ 

Trong đó li là hàm tích phân logarit. Định lý số nguyên tố được Jacques Hadamard và Charles de la Vallée Poussin chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 một cách độc lập, sử dụng các thuộc tính của hàm Riemann zeta do Riemann giới thiệu vào năm 1859. Cách chứng minh định lý số nguyên tố không sử dụng hàm zeta hoặc giải tích phứ đã được Atle Selberg và Paul Erdős tìm ra vào khoảng năm 1948 (hầu hết các phần này đều được họ tìm ra hoàn toàn độc lập với nhau).

Ước tính chính xác hơn về ${\displaystyle \pi (x)\!}$  bây giờ đã được biết đến; ví dụ ^{[cần dẫn nguồn]}

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}xe^{-{\sqrt {\ln x}}/15}{\bigr )}\!}$ 

trong đó O là ký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của ${\displaystyle x}$  chúng ta quan tâm đến (tức là khi ${\displaystyle x}$  không lớn quá mức), giá trị ${\displaystyle \operatorname {li} (x)\!}$  luôn lớn hơn ${\displaystyle \pi (x)\!}$ . Tuy nhiên, hiệu ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$  được biết là thay đổi dấu vô hạn lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.

Dạng chính xác

Bernhard Riemann đã chứng minh rằng hàm đếm số nguyên tố chính xác là

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}$ 

trong đó

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})}$ ,

μ(n) là hàm Mobius, li(x) là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và li(x^ρ/n) không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là Ei(ρ/n ln x). Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó π(x) có thể được viết thành

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln {x}}}}$ .

Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì Re(s) = 1/2

Bảng này cho thấy ba hàm số π (x), x / ln x và li(x) so sánh ở các giá trị mũ của 10. Xem thêm, và

 

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / ln x  % Error
10	4	−0.3	2.2	2.500	-7.5%
102	25	3.3	5.1	4.000	13.20%
103	168	23	10	5.952	13.69%
104	1,229	143	17	8.137	11.64%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.740	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%