Trong toán học, một cấp số nhân, dãy cấp số nhân hay dãy hình học (Tiếng Anh: geometric progression hay geometric sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi.
Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội.
Nếu công bội là:
Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
0, mọi số hạng bằng 0.
Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
1, là một dãy không đổi.
Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
−1, là một dãy đan dấu.
Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).
Tổng Cấp Số Nhân
Tổng Cấp Số Nhân các phần tử của cấp số nhân:
Nhân cả hai vế với (1-r):
vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:
Chú ý: Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0 và m < n ta có
Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng
Tổng Cấp Số Nhân vô hạn
Nếu cấp số nhân có vô hạn phần tử thì tổng là hội tụ khi khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (| r | < 1).
Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có
Cả hai công thức chỉ đúng khi | r | < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi đại số Banach, khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của các số p-adic nếu |r|p < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng. Chẳng hạn,
Tất nhiên công thức chỉ đúng khi | r | < 1.
Số phức
Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng khi các phần tử là các số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler, để tính một vài tổng như:
This article uses material from the Wikipedia Tiếng Việt article Cấp số nhân, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Nội dung được phát hành theo CC BY-SA 4.0, ngoại trừ khi có ghi chú khác. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Tiếng Việt (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.