Đa Tạp Riemann: đa tạp vi phân được trang bị một mêtric Riemann

Tức là với mọi bản đồ trơn (U, x) trên M, n² hàm

${\displaystyle g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R} }$

là các hàm trơn. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann đo được, vân vân.

Họ các tích vô hướng g_p nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức Bernhard Riemann. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là hình học Riemann.

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như góc tại một giao điểm, chiều dài đường cong, diện tích bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng (thể tích, v.v.), độ cong ngoại biên của các đa tạp con, và độ cong nội tại của chính đa tạp lớn.

Một đa tạp Riemann ${\displaystyle M}$  là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ ${\displaystyle g\in T^{*}M\otimes T^{*}M}$  sao cho

1. ${\displaystyle g}$  đối xứng, tức là ${\displaystyle \forall X,Y\in T_{p}M:g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)}$ 
2. ${\displaystyle g}$  xác định dương, tức là ${\displaystyle \forall X\in T_{p}M-\{0\}:g(p)(X,X)>0}$ .

• Đường tròn ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$  cùng với ten-xơ ${\displaystyle d\theta \otimes d\theta }$  (thường được ký hiệu là ${\displaystyle d\theta ^{2}}$ ) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng ${\displaystyle 1}$ .

Với mọi cung (khả vi) ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ , ta định nghĩa độ dài của cung ${\displaystyle \gamma }$  là giá trị ${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))dt}$ . Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa ${\displaystyle \gamma }$ .

Nếu ${\displaystyle M}$  là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do ${\displaystyle M}$  là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm ${\displaystyle p,q\in M}$  như là infimum của các độ dài cung nối ${\displaystyle p}$  và ${\displaystyle q}$ . Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với ${\displaystyle M}$ .

Ứng với mỗi đa tạp Riemann ${\displaystyle (M,g)}$ , tồn tại một liên thông tuyến tính ${\displaystyle \nabla _{g}}$  trên ${\displaystyle TM}$  được gọi là liên thông Levi-Civita.

• HÌnh học Riemann
• Đa tạp Finsler
• Ten-xơ metric

• Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X
• Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục
• Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann, Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội

• L.A. Sidorov (2001), “Riemannian metric”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4