Ekwasyong Fisher

Ipinangalan ito kay Irving Fisher, isang sikat na tao dahil sa kanyang mga gawa sa teorya ng interes. Sa pananalapi, karaniwang ginagamit ang ekwasyong Fisher sa mga kalkulasyon ng YTM ng mga bono o mga kalkulasyon ng IRR ng mga pamumuhunan. Sa ekonomika, ginagamit ang ekwasyong ito upang mahulaan ang pag-uugali ng nominal at tunay na antas ng interes.

Kapag kumakatawan ang ${\displaystyle r}$sa tunay na antas ng interes, kumakatawan ang ${\displaystyle i}$sa nominal na antas ng interes, at kumakatawan ang ${\displaystyle \pi }$ sa antas ng inplasyon, ang ekwasyong Fisher ay:

${\displaystyle i\approx r+\pi }$

Isang linear na pagtatantya ito, ngunit tulad sa sumusunod, madalas na nakasulat ito bilang isang pagkakapare-pareho:

${\displaystyle i=r+\pi }$

Maaaring gamitin ang ekwasyong Fisher sa pagtatasang ex-ante (bago) o ex-post (pagkatapos). Kapag ex-post, maaari itong gamitin upang ilarawan ang tunay na kakayahan ng pagbibili ng isang utang:

${\displaystyle r=i-\pi }$

Kapag aayusin ito na maging ekwasyong Fisher na nadagdagan ng inaasahan at bibigyan ng isang ninanais na tunay na antas ng pagkita at isang inaasahang antas ng inplasyon ${\displaystyle \pi ^{e}}$(na may tinitikang e na may kahulugan na "inaasahan") sa loob ng panahon ng isang utang, maaari itong gamitin bilang isang bersyong ex-ante upang magpasya ng karapat-dapat na nominal na antas na sisingilin para sa utang:

${\displaystyle i=r+\pi ^{e}}$

Mayroon ng ekwasyon na ganito bago si Fisher, ngunit si Fisher ang nagmungkahi ng isang mas mahusay na pagtatantya na makikita sa ilaim. Maaaring makuha ang pagtatantyang ito mula sa eksaktong ekwasyon:

${\displaystyle 1+i=(1+r)(1+\pi )}$

Kahit na tinatanggal minsan ang mga subscript pang-oras, ang intuwisyon sa likod ng ekwasyong Fisher ay ang kaugnayan ng nominal at tunay na mga antas ng interes, sa pamamagitan ng inplasyon, at ang porsyento ng pagbabago sa antas ng presyo sa pagitan ng dalawang tagal ng panahon. Kung ipalagay na bumili ang isang tao ng isang bono may presyong $1 sa panahong ${\displaystyle t}$  habang ang antas ng interes ay ${\displaystyle i_{t}}$ . Kung natubos sa panahong ${\displaystyle t+1}$ , makakatanggap ng ${\displaystyle (1+i_{t})}$ na dolyar ang mamimili. Datapwa't kung inaasahan ang antas ng implasyon sa ${\displaystyle t+1}$ na maging ${\displaystyle \pi _{t+1}}$ , ang kasalukuyang halaga ng nalikom mula sa bono ay ${\displaystyle {(1+i_{t})}/{(1+\pi _{t+1})}}$ , na katumbas sa totoong paglago sa ${\displaystyle t+1}$  na ipinapakita ng ${\displaystyle (1+r_{t+1})}$ . Kaya,

${\displaystyle (1+r_{t+1})={\frac {1+i_{t}}{1+\pi _{t+1}}}}$ 

Mula dito maaaring malutas ang nominal na antas ng interes.

${\displaystyle {\begin{aligned}1+i_{t}&=\left(1+r_{t+1}\right)\left(1+\pi _{t+1}\right)\\&=1+r_{t+1}+\pi _{t+1}+r_{t+1}\pi _{t+1}\end{aligned}}}$ 

Samakatuwid,

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{t}&=r_{t+1}+\pi _{t+1}+r_{t+1}\pi _{t+1}\\&\approx r_{t+1}+\pi _{t+1}\end{aligned}}}$ 

Nanggaling ang itaas mula sa palagay na parehong maliliit ang tunay na mga antas ng interes at ang antas ng inplasyon, (marahil sa pagkakasunud-sunod ng ilang bahagdan, ngunit nakadepende ito sa aplikasyon) samakatuwid mas malaki ang ${\displaystyle r_{t+1}+\pi _{t+1}}$  kaysa sa ${\displaystyle r_{t+1}\pi _{t+1}}$ at kaya maaaring tanggalin ang ${\displaystyle r_{t+1}\pi _{t+1}}$ .

Bilang mas pormal, ibinibigay ang linear na pagtatantyang ito sa paggamit ng dalawang ika-1 order na pagpapalawak ni Taylor, tulad ng:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1+x}}&\approx 1-x,\\(1+x)(1+y)&\approx 1+x+y.\end{aligned}}}$ 

Kapag pinagsama-sama ang mga yields na ito sa aproksimasyon:

${\displaystyle 1+r={\frac {1+i}{1+\pi }}\approx (1+i)(1-\pi )\approx 1+i-\pi ,}$ 

at kaya

${\displaystyle r\approx i-\pi }$ 

Maaaring mapalitan ang mga aproksimasyon na ito na wasto lamang para sa mga maliliit na pagbabago, ng mga pagkakapantay-pantay o equality, na may bisa sa anumang mga pagbabago sa laki, kung gagamitin ang mga logaritmong yunit.

Ang merkadong antas ng pagkita sa 4.25% na bono ng pamahalaan ng Reyno Unido na magtatapos sa Marso 8, 2050 ay 3.81% kada taon. Ipagpalagay natin maaaring hatiin ito sa isang tunay na antas na eksaktong 2% at isang premium ng inplasyon na 1.775% (walang pampeligrong premium, dahil itinuturing ang bono ng pamahalaan bilang "walang peligro"):

${\displaystyle 1.02\times 1.01775=(1+0.02)\times (1+0.01775)=1.0381}$ 

Nagpapahiwatig ang artikulong ito na maaaring di-pansinin ang pinaka-di-makabuluhang termino sa pagpapalawak (0.02 × 0.01775 = 0.00035 o 0.035%) at tawagan ang nominal na antas ng pagkita na 3.775%, sa batayan na halos parehas ito sa 3.81%.

Sa isang nominal na antas ng pagkita ng 3.81% kada taon, ang halaga ng bono ay £107.84 bawat £100 na nominal. Sa isang antas ng pagkita na 3.775% bawat taon, ang halaga ay £108.50 bawat £100 na nominal, o higit pa ng 66p.

£10 milyon ang karaniwang sukat ng mga aktwal na transaksyon sa bono na ito sa merkado sa huling sangkapat ng 2005. Kaya nagbubunga ang pagkakaiba sa presyo ng 66p bawat £100 ng agwat na £66,000 bawat deal.

Pagsusuring gastos-pakinabang

Ipinaliwanag ni Steve Hanke, Philip Carver, at Paul Bugg (1975) na maaaring ihiwid ang pagsusuring gastos-pakinabang kung hindi ginamit ang eksaktong ekwasyong Fisher. Dapat tinatantya ang mga presyo at mga antas ng interes sa alinman sa tunay o nominal na termino.

Para sa layunin ng pagsusuring gastos-pakinabing, maaaring mapangasiwaan ang inplasyon sa alinman sa dalawang paraan. Una, kapag kinakalkula ang kasalukuyang halaga ng inaasahang mga net na benepisyo, maaaring kalkulahin ang mga presyo at mga antas ng interes sa tunay na termino. Ibig sabihin na walang kasama na mga bahagi ng inplasyon sa mga presyo o sa mga antas ng interes. Kasama sa ikalawang diskarte ang inplasyon sa kalkulasyon ng presyo at ng mga antas ng interes; ang mga kalkulasyon ay ginawa sa mga nominal na termino. Katulad ng inilalarawan sa ibaba, katumbas ang mga pamamaraang ito hangga't tinatantya ang mga presyo at mga antay ng interes sa mga tunay na termino, o parehong tinatantya sa mga nominal na termino.

Halimbawa, ipagpalagay na kumakatawan ang ${\displaystyle Z_{i}}$  sa inaasahang net na benepisyo na di-diniskuwento sa pagtatapos ng taon ${\displaystyle t}$ , na sinusuri sa di-nagbabagong presyo, at ${\displaystyle R_{t}}$ , ${\displaystyle I_{t}}$ , at ${\displaystyle r_{t}}$ ay ang tunay na antas ng interes, ang inaasahang antas ng inflation, at ang nominal na antas ng interes para sa taong ${\displaystyle t,t=1,...,n}$ , ayon sa pagkakabanggit. Ibinigay ang kasalukuyang halaga ng inaasahang mga net na benepisyo ${\displaystyle {\textit {PVNB}}}$  ng

${\displaystyle {\textit {PVNB}}={\frac {Z_{1}}{1+R_{1}}}+{\frac {Z_{2}}{(1+R_{1})(1+R_{2})}}+\cdots +{\frac {Z_{n}}{(1+R_{1})\cdots (1+R_{n})}}}$ 

kung saan walang kasama na mga bahagi ng inplasyon sa mga presyo o sa antas ng interes. Bilang kahalili, ibinibigay ang kasalukuyang halaga ng inaasahang mga net na benepisyo ng

${\displaystyle {\text{PVNB}}={\frac {Z_{1}(1+I_{1})}{1+r_{1}}}+{\frac {Z_{2}(1+I_{1})(1+I_{2})}{(1+r_{1})(1+r_{2})}}+\cdots +{\frac {Z_{n}(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}{(1+r_{1})\cdots (1+r_{n})}}}$ 

o sa pamamagitan ng relasyon na idinikta ng eksaktong ekwasyong Fisher

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {PVNB}}={\frac {Z_{1}(1+I_{1})}{(1+R_{1})(1+I_{1})}}+{\frac {Z_{2}(1+I_{1})(1+I_{2})}{(1+R_{1})(1+R_{2})(1+I_{1})(1+I_{2})}}+\cdots \\[8pt]\cdots +{\frac {Z_{n}(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}{(1+R_{1})\cdots (1+R_{n})(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}}\end{aligned}}}$ 

Sa pagmamasid sa mga ekwasyon sa itaas, malinaw na magkapareho ang kasalukuyang halaga ng mga net na benepisyo na nagmumula sa alinmang ekwasyon sa dalawa. Sinasagot nito ang anumang katanungan tungkol sa pagsasagawa ng pagsusuring gastos-pakinabang sa mga termino ng di-nagbabago o nominal na mga presyo.

Mga bonong naka-index sa inplasyon

May mahalagang implikasyon ang ekwasyong Fisher sa kalakalan ng mga naka-index na mga bono sa inplasyon, kung saan resulta ang mga pagbabago sa mga pagbabayad sa kupon ng mga pagbabago sa inplasyong break-even, tunay na mga antas ng interes at nominal na mga antas ng interes.^{[kailangan ng sanggunian]}

Patakarang pansalapi

May mahalagang papel ang ekwasyong Fisher sa ipotesis Fisher, na nagsasaad na hindi naaapektuhan ang tunay na antas ng interes ng patakarang pananalapi at samakatuwid ay hindi naaapektuhan ng inaasahang antas ng inplasyon. Sa isang nakapirming tunay na antas ng interes, ang isang pagbabago ng porsyento sa inaasahang antas ng inplasyon, ayon sa ekwasyon, ay kakailanganing matugunan ng isang katumbas na pagbabago sa porsyento sa nominal na antas ng interes sa parehong direksyon.

• Tunay kumpara sa nominal na halaga (economics)
• Yield
• Yield curve
• Antas ng interes
• Inplasyon

• Barro, Robert J., Macroeconomics Barro, Robert J., Macroeconomics .
• Fisher, Irving (1913). The Theory of interest.