Variabel Acak

Conto, ngagorolongkeun duit receh jeung ngarekam hasilna dina variabel random nu hasilna { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Milih jalma sacara acak jeung ukur jangkungna mangrupa conto séjén tina variabel acak.

Sacara matematik, variabel acak dihartikeun hiji fungsi ukuran tina rohangan probabiliti keur ukuran rohangan. Ukuran rohangan nyaéta nilai variabel ruang nu mungkin, umumna dicokot keur dijadikeun wilangan riil nu mibanda Borel σ-algebra, sarta bakal salawasna dipaké dina ieu ensiklopedia, iwal tina dina hal husus.

Lamun variabel acak X:Ω->R aya dina ruang probabiliti (Ω, P) dibérékeun, urang bisa nanyakeun saperti kieu "Sabaraha mungkin nilai X leuwih gedé tinimbang 2?". Ieu sarua jeung kamungkinan kajadian {s dina Ω : X(s) > 2} nu salawasna ditulis P(X > 2) keur nyingketna.

Sakabéh rekaman rentang hasil kamungkinan tina nilai-réal variabel random X bakal ngahasilkeun sebaran probabilitas X. Sebaran kamungkinan "poho" ngeunaan bagéan ruang probabiliti dipaké keur ngartikeun X jeung ngan direkam dina variasi nilai X. Saperti sebaran kamngkinan salawasna kawengku dina fungsi kumulatif sebaran

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X$ 

sarta kadangkala maké ogé fungsi probabilitas densitas. Dina watesan teori ukuran, dipaké variabel acak X keur "dorong-hareup" ukuran P dina Ω kana ngukur dF dina R. Dina kaayaan ruang probabiliti Ω mangrupa alat tenis dipaké keur ngajamin ayana variabel acak sarta kadang-kadang keur nyusunna. Dina kaperluan praktis, leuwih ilahar dina sakabéh ruang Ω sarta nyimpen hiji ukuran dina R nu nangtukeun ukuran 1 ka sakabéh garis rill, contona dipaké dina sebaran probabiliti keur gaganti variabel acak.

Lamun urang ngabogaan variabel random X on Ω jeung hiji fungsi ukuran f:R->R, maka Y=f(X) ogé jadi variabel random dina Ω, salila fungsi komposisi ukuran bisa diukur. Sababaraha prosedur ngijinkeun keur ngarobah tina ruang probabiliti (Ω,P) kana (R,dF_X) bisa dipaké keur nangtukeun sebaran probabiliti Y. Fungsi sebaran kumulatif Y nyaéta

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (f(X)$ 

Conto

Anggap X nilai-riil variabel acak sarta anggap Y = X². Mangka,

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}$ 

Lamun y < 0, mangka P(X² ≤ y) = 0, mangka

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$ 

Lamun y ≥ 0, mangka

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}$ 

mangka

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$ 

Sebaran probabiliti variabel random salawasna dicirikeun ku jumlah paramater nu saeutik, ogé mibanda interpretasi praktis, contona cukup nyaho "nilai average". Hal ieu kawengku ku konsép matematik nilai ekspektasi variabel random, dilambangkeun ku E[X]. Catetan yén ilaharna , E[f(X)] teu sarua jeung f(E[X]). Lamun "nilai average" dipikanyaho, mangka sabaraha jauh tipikal nilai X tina nilai average bisa dijawab ku varian sarta simpangan baku variabel random.

Sacara matematik, ieu disebutna (generalisasi) masalah momen: keur kelas variabel random X nu dibéré, téangan fungsi kumpulan {f_i} saperti nilai ekspektasi E[f_i(X)] nu sakabéhna nyirikeun distribusi variabel random X.

Aya sababaraha béda harti dina variabel acak nu bisa dianggap sarua. Dua variabel acak bisa sarua, yakin sarua, sarua dina méan atawa sarua dina sebaran.

Dina raraga leuwih ngajéntrékeun, di handap ieu sababaraha hal ngeunaan kasaruaan dijéntrékeun.

Sarua dina sebaran

Dua variabel acak X jeung Y sarua dina sebaran lamun

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{keur sakabeh}}\quad x.}$ 

Bakal sarua dina sebaran, variabel acak teu perlu kapanggih dina rohang probabilitas nu sarua, tapi teu kaleungitan kailaharan nu bisa dijieun kana variabel acak dina rohang probabilitas nu sarua. Lambang nu sarua di sebaran pakait jeung lambang jarak saterusna antara sebaran probabilitas,

${\displaystyle d(X,Y)=\sup _{x}|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,}$ 

nu mana dumasar kana uji Kolmogorov-Smirnov.

Sarua dina mean

Dua variabel acak X jeung Y sarua dina mean ka-p lamun momen ka-p |X − Y| sarua jeung enol, nyaéta,

${\displaystyle \operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.}$ 

Kasaruaan dina méan ka-p nyababkeun kasaruan dina méan ka-q keur sakabéh q<p. Saperti dina kasus saméméhna, hal ieu jarak pakait antara variabel acak, dingaranan

${\displaystyle d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).}$ 

Ampir pasti sarua

Dua variabel acak X jeung Y ampir pasti sarua lamun, ngan jeung lamun, probabilitasna béda ti enol:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$ 

Keur sakabéh kaperluan praktis dina téori probabilitas, notasi kasaruaan ieu sarua kuatna jeung sarua dina sabenerna. Hal ieu pakait jeung jarakna:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$ 

nu mana 'sup' dina kasus ieu ngagambarkeun essential supremum dina pamadegan teori ukuran.

Kasaruaan

Tungtungna, dua variabel acak X jeung Y disebut sarua lamun maranéhna sarua salaku fungsi dina rohang probabilitas, nyaéta,

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{keur sakabeh}}\quad \omega }$ 

Loba statistik matematik nu kabuktian konvergen keur sekuen nu ditempo dina variabel acak; tempo hukum wilangan loba jeung teorema limit tengah.

Aya sababaraha itungan nu mana unggal hiji (X_n) variabel acak bisa konvergen kana variabel acak X. Ngeunaan hal ini dijéntrékeun dina artikel Konvergen variabel acak.

Di handap ieu mangrupa conto tina integer random i, 1 ≤ i ≤ 100:

1712178964 46268280 6110019735 423434969 481645233 5956564625 244347358 4894186547 7316692626 653565642 5936527752 1479427182 6028729677 7278587144 9941418053 677664986 948547271 686503226 6079945372 9878467350 493775756 232070158 4272168496 4442761971 5717346668 63100373868 5252428615 5376594394 6721747385 161245577 422237415 6380657688 39391009685 6416556250 7127489596 3065337150 391709955 742749848 9990286641 178035830 8541681846 8691402043 7195484079 8877498152 158115126 998283747 3717302739 336583173 489641789 8972166148 739039347 411874883 4164614771 235667429 747612246 464592379 337314154 6391815866 8324378416 559529269 4427573870 3733232418 7420877328 8534317625 638157316 7983942152 341966597 331006336100 46384821 2192607222 258023810 1063441486 471745418 2144278810 9290275473 6813156831 483469797 3212666687 10075997573 1686906651 5980874035 2176657473 2641176788 5442629878 1929607919 7613956876 8647912325 5057279730 16825731 72641832100 5418516638 7491754181 2132967890 982218480 6572521781 501901445 1176913120 9330306610 203789371 359682114

• discrete random variable, continuous random variable, probability distribution, randomness, random vector, random function, generating function