Radianti

Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.

Si pigghìassi na circunfirenza cu centru nto vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu ${\displaystyle l}$  a lunchizza di tali arcu, ${\displaystyle r}$  chidda dû raggiu, ${\displaystyle c}$  chidda di la circunfirenza e ${\displaystyle \alpha }$  l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}}$ 

${\displaystyle l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$ 

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza ${\displaystyle c}$  uguali a ${\displaystyle 2\pi r}$  e lu raggiu longu ${\displaystyle r}$ , l'angulu di nu cerchiu eni uguali a ${\displaystyle 2\pi }$ .

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}$ 

Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:

${\displaystyle c=2\pi r,}$ 

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}$ 

${\displaystyle \alpha }$  arrìsulta funzioni di ${\displaystyle l}$ :

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}$ 

Ossia:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}$ 

Da cui:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$ 

Dunque, punnnu ${\displaystyle l=r}$ , da l'equazzioni pricirenti si utteni:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}$ 

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

${\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}$ 

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$ 

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$ 

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}$ 

A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$ 
${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }$ 
${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }$ .

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.

Nu radianti eni uguali a ${\displaystyle 180/\pi }$  gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì ${\displaystyle 180/\pi }$ :

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}.}$ 

Pì esempiu:

${\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ }}$ 

${\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ }}$ 

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}$ 

Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:

${\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}$ 

Pì esempiu:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\mbox{ rad}}}$ 

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\mbox{ rad}}}$ 

Si avi quinni:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni
1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad;
1 primu = 0,00029 08882 08666 rad
1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad

• Gradu d'arcu
• Gradu cintesimali
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• Pi grecu
• Steradianti
• Millesimu di radianti