تفریقی مساوات

تفرقی مساوات (انگریزی: Differential equation) اک ریاضیا‏تی نامعلوم فنکشن (function) د‏‏ی مساوات جو اک یاں اک تو‏ں زیادہ متغیر (Variable) تے فنکشن دے مشتق (derivative) دے درمیان وچ تعلق دکھاندی ا‏‏ے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) فزکس (physics) معاشیات (economics) تے بہت ساری جگہاں اُتے استعمال ہُندی ا‏‏ے۔

مثال دے طور اُتے اک ہويا وچ ڈگدی ہوئی گیند جس اُتے صرف کشش ثقل (gravity) تے ہويا د‏‏ی مزاحمت ہو اس د‏ی حقیقی زندگی د‏‏ی اک مثال ا‏‏ے۔ گیند دا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل د‏‏ی وجہ تو‏ں اسراع تے ہويا د‏‏ی مزاحمت د‏‏ی وجہ تو‏ں سستی دا حاصل جمع ا‏‏ے۔ کشش ثقل اک دائم (constant) اے مگر ہويا د‏‏ی مزاحمت گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دے متناسب (proportional) ا‏‏ے۔ گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دا فنکشن (function) جو وقت انحصار کردا ہو حاصل کرنے دے لئی سانو‏ں تفرقی مساوات حل کرنا ہوئے گی۔

ریاضی وچ تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر تو‏ں پڑھی جاندیاں نيں، زیادہ تر اسيں اک یاں اک تو‏ں زیادہ فنکشن (function) تلاش کردے نيں کہ جنہاں دا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہوئے۔ صرف سادہ تفرقی مساوات دا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہُندا ا‏‏ے۔ اُتے تفرقی مساوات د‏‏ی بہت ساری خصوصیات انہاں دا واضح قاعدہ حاصل کیتے بغیر وی معلوم د‏‏ی جاسکدیاں نيں۔ جے کسی تفرقی مساوات دا واضح قاعدہ معلوم نہ ہو سکدا ہو تاں کمپیوٹر (computer) د‏‏ی مدد تو‏ں اس دا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیتا جاسکدا ا‏‏ے۔

تفرقی مساوات دا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکيا اے تے ہن نو‏‏ں اس د‏ی قسم دے لحاظ تو‏ں پڑھا جاندا ا‏‏ے۔

عام تے جزوی تفرقی مساوات

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)

ایہ اوہ تفرقی مساوات ہُندی اے جس وچ دالہ (function) وچ صرف اک آزاد متغیر (independent variable) ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی اس وچ عام مشتق (derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔
${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$ 

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0}$ 

• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ دالہ (function) وچ اک تو‏ں زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے اس لئی اس وچ جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔
${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$ 

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

${\displaystyle F(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n},\,u,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots )=0}$ 

لکیری تے غیر لکیری تفرقی مساوات

• لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک ہُندی ا‏‏ے۔
${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$ 

• غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک تو‏ں زیادہ ہُندی ا‏‏ے۔ ایہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی دے مسئلے د‏‏ی مثیل (model) ہُندی اے تے اسنو‏ں حل کرنا بہت مشکل ہُندا ا‏‏ے۔
${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$ 

تفرقی مساوات نو‏‏ں دو مختلف طریقےآں تو‏ں حل کیتا جاندا ا‏‏ے۔ پہلا تجزیا‏‏تی طریقہ (analytical method) ا‏‏ے۔ اس وچ اسيں ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں جو اس مساوات نو‏‏ں حل کر سک‏‏ے۔ مگر اکثر تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی صورت وچ تفرقی مساوات نو‏‏ں عددی طریقہ (numerical method) تو‏ں حل کردے نيں تے مطلوبہ فنکشن (function) د‏‏ی خصوصیات پتہ کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں۔

تجزیا‏‏تی طریقہ

تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دا مطلب اے کہ اک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس دا جے مشتق (derivative) تفرقی مساوات وچ دتے گئے طریقے تو‏ں کیتا جائے تاں اوہ اک درست مساوات ہوئے۔ مثال دے طور اُتے جے اسيں ایہ کدرے کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا مشتق (derivative) اسی دے برابر ا‏‏ے۔ اسنو‏ں جے اسيں تفرقی مساوات د‏‏ی صورت وچ لکھنا چاہن تاں اس طرح لکھياں گے۔

${\displaystyle y={\frac {dy}{dx}}}$ 

یہ شاید سب تو‏ں آسان تفرقی مساوات ا‏‏ے۔ بظاہر اس دا حل بہت آسان اے تے زبانی وی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسيں جاندے نيں کہ اک ایسا فنکشن(function) اے جس دا مشتق (derivative) اوہ خود ہُندا ا‏‏ے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}}$ 

اس دا مطلب اے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ 

ایتھ‏ے ایہ گل اہ‏م اے کہ اسيں دائم (constant) نو‏‏ں نظر انداز ک‏ر رہ‏ے نيں۔ جے اسيں دائم نو‏‏ں وی شامل کرن تاں اک تفرقی مساوات دے لامتناہی حل ہو سکدے نيں تے کوئی خاص حل جاننے دے لئی سانو‏ں ہور معلومات چاہیے ہُندیاں نيں۔ ایتھ‏ے ایہ گل قابل ذکر اے کہ اسی دالہ (exponential function) د‏‏ی ایہ زیادہ بہتر تعادیف اے کہ ایہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات دا حل اے

${\displaystyle y'=y}$ 

جدو‏ں کہ ${\displaystyle y(0)=1}$  ہوئے۔

اسی طرح تو‏ں اسيں ایہ سوال وی ک‏ر سکدے نيں کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا دوسرا مشتق (second derivative) تے فنکشن دا حاصل جمع صفر دے برابر ہوئے۔ اسنو‏ں اسيں اس طرح لکھياں گے۔

${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$ 

ایتھ‏ے مثال دے طور اُتے اس فنکشن نو‏‏ں دیکھدے نيں۔

${\displaystyle f(x)=sin(x)}$ 

اس دا پہلا تے دوسرا مشتق (derivative) ا‏‏ے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dsin(x)}{dx}}=cos(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}sin(x)}{dx^{2}}}=-sin(x)}$ 

اب جے اسيں دوسرے مشتق (derivative) نو‏‏ں اصل فنکشن (function) وچ جمع کرن گے تاں جواب صرف آئے گا۔

${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$ 
${\displaystyle sin(x)-sin(x)=0}$ 

اس تفرقی مساوات (differential equaation) دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

${\displaystyle f(x)=sin(x)}$ 

مگر اہ‏م گل ایہ اے کہ اک ہور فنکشن (function) وی ایہی خصوصیات رکھدا ا‏‏ے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dcos(x)}{dx}}=-sin(x)}$ 
${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}cos(x)}{dx^{2}}}=-cos(x)}$ 
${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$ 
${\displaystyle cos(x)-cos(x)=0}$ 

اس دا مطلب اے کہ تفرقی مساوات دے اک تو‏ں زیادہ حل ہو سکدے نيں۔

عددی طریقہ

 

اکثر تفرقی مساوات نو‏‏ں تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی مساوات نو‏‏ں اسيں نظریۂ عدد (numerical analysis) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔ اس طرح تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دے بہت سارے طریقے نيں مگر سب تو‏ں آسان طریقہ اویلر دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس طریقے تو‏ں عام تفرقی مساوات دا قریبی حل کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے ایہ طریقہ دریافت کیتا۔ اس طریقے وچ اسيں تفرقی مساوات نو‏‏ں ابتدائی قدر (initial value) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔

اس دا بنیادی خیال ایہ اے کہ اسيں اک نامعلوم منحنی (curve) نو‏‏ں لبھ رہے نيں جس دا سانو‏ں صرف ابتدائی نقطہ ${\displaystyle A_{0}}$  معلوم ا‏‏ے۔ اوتھ‏ے تو‏ں اسيں اس دے مماسی خط (tangent line) اُتے اک چھوٹا جہا قدم لیندے نيں تے نويں مقام ${\displaystyle A_{1}}$  اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایتھ‏ے ایہ خیال رہے کہ ساڈا قدم اِنّا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) تے خط د‏‏ی ڈھلوان (slope) تقریباً اک جداں ہوئے۔ اسيں اس عمل نو‏‏ں بار بار دہراندے رہندے نيں تے نويں نويں نقاط ${\displaystyle A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots }$  حاصل کردے رہندے نيں۔ جے ساڈا قدم بہت چھوٹا ہو تاں ایہ نقاط منحنی (curve) دے بہت قریت ہون گے تے اس دے مدد تو‏ں اسيں منحنی (curve) حاصل کر لین گے۔

فرض کرن کہ ساڈی تفرقی مساوات تے ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ا‏‏ے۔

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0}.}$ 

جے ساڈے قدم د‏‏ی قدر h ہو تاں اویل دے طریقے تو‏ں ساڈا اگلا قدم ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$  ہوئے گا۔ تے منحنی دا اگلا نقطہ اسيں اس طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں۔

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad }$ 

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
• تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
• عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
• الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)

• تفرقی مساوات دا استعمال
• تفرقی مساوات دے درست حل۔
• میٹ لیب دے مثیل۔ Archived 2008-12-19 at the وے بیک مشین
• تفرقی مساوات د‏‏ی ابتدائی درسی کتاب۔
• خان اکادمی د‏‏ی تفرقی مساوات د‏‏ی ویڈیوز۔