Geometria

Es la basa teorica de la geometria descriptiva o del dessenh tecnic. S'apièja sus d'instruments coma lo compàs, lo teodolit, lo pantograf o lo sistèma de posicionament global (subretot quand s'utiliza en combinason amb l'analisi matematica e subretot las eqüacions diferencialas).

A per origina la recèrcas de solucions als problèmas concrèts relatius a las mesuras. Son aplicacion practica en fisica aplicada, mecanica, arquitectura, geografia, cartografia, astronomia, navigacion, topografia, balistica etc. S'utiliza en la preparacion de dessenhs e tanben dins l'artesanat.

 

La geometria es una de las sciéncias mai ancianas. Es inicialament constituida d'un còs de coneissenças practicas en relacion amb las longors, los airals e los volums. La civilizacion babiloniana foguèt una de las primièras a incorporar dins sa cultura la geometria. L'invencion de la ròda dobriguèt lo camin a l'estudi de la circonferéncia e mai tard a la descobèrta del nombre π (pi); Desvolopèron tanben lo sistèma sexagesimal, prenent en compte que l'an compta 360 jorns, e mai adaptèt una formula per calcular l'airal del trapèzi rectangle. Dins l'Egipte antica èra fòrça desvolopada, amb los tèxtes de Erodòt, Estrabon e Diodòr de Sicília, Euclides, Al sègle III AbC se realizèt la geometria en forma axiomatica e constructiva, tractament qu'establiguèt una nòrma a seguir pendent fòrça sègles: la geometria euclidiana descricha dins Los Elements.

L'estudi de l'astronomia e la cartografia, volent determinar las posicions de las estelas e planetas dins l'esfèra celèsta, serviguèt coma importanta font de resolucion dels problèmas geometrics pendent mai d'un millenari. René Escartes desvolopèt simultanèament las eqüacions algebricas e la geometria analitica, marcant una nòva estapa, per decruire las figuras geometricas, coma las corbas planas, poden venir de representacions analiticas, es a dire, amb de foncions e eqüacions. La geometria s'enriquís amb l'estudi de l'estructura intrinsèca de las entitats geometricas qu'analisan Euler e Gauss, que menèt a la creacion de la topologia e la geometria diferenciala.

 

La geometria se prepausa d'anar mai alà de çò qu'esperat per l'intuicion. Atal, demanda un metòde rigorós, sens errors; per i aténher, istoricament, s'utilizèt los sistèmas axiomatics. Lo primièr sistèma axiomatic foguèt establit per Euclides, pasmens se pareis ara incomplet. David Hilbert prepausèt al començament del sègle XX un autre sistèma axiomatic, alara complèt. Coma en tot sistèma formal, las definicions, pretendon pas solament descriure las proprietats dels objèctes, sas siás relacions. Quand s'axiomaliza quicòm, los objèctes venon d'entitats abstrachas idealas e sas relacions se nomenan modèls.

Aquò significa que los mots "punt", "drecha" e "plan" pèrdon tot sens material. Quin ensemble d'objècte que siá que verifica las definicions e los axiòmas complirà tanben totes los teorèmas de la geometria en afar, e sas relacions seràn virtualament identicas al aquel del modèl tradicional.

Axiòmas

 

En geometria euclidiana, los axiòmas e postulats son de proposicions que ligan de concèptes, definits segon lo punt, la drecha e lo plan. Euclides prepausèt cinc postulats e foguèt lo cinquen (lo postulat del parallelisme) que de sègles après —quand fòrça geomètras lo questionèron en l'analizant— donèt de geometria novèlas: l'elliptica (geometria de Riemann) o l'iperbolica de Nikolái Lobachevski.

En geometria analitica, los axiòmas se definisson segon las eqüacions de punts, se basant sus l'analisi matematica e l'algèbra. Pren un nòu sens de parlar dels punts, drechas o plans. F(x) pòt definir quina foncion que siá, drecha, circonferéncia, plan, etc.

 

Lo camp de la topologia, que se desvolopèt fòrça al sègle XX, es dins un sens tecnic un tipe de geometria transformacionala, que las transformacions que gardan las proprietats de las figuras son los omeomorfismes (per exemple, es diferent de la geometria metrica, que las transformacions altèran pas las proprietats de las figuras son las isometricas). Aquò es sovent exprimit segon lo dich: "la topologia es la geometria de la pagina plastica".

Dempuèi los ancians grècs, se faguèt fòrça contribucions a la geometria, subretot pendent lo sègle XVIII. Alara proliferèron fòrça sosbrancas de la geometria amb d'apròche plan diferent. Per classificar los diferents desvolopaments de la Geometria modèrna se pòdon prene diferents torns:

Geometrias segon lo tipe d'espaci

Los grècs ancians utilizavan un unic tipe de geometria, a saber, la geometria euclidiana, abilament codificada dins los Elements de Euclides per una escòla alexandrina dirigida per Euclides. Aquel tipe de geometria se basa sus un estil formal de deduccions sus cinc postulats basics. Los quatre primièrs foguèron largament acceptats e Euclides los utilizèt fòrça, mas, lo cinquen postulat foguèt mens utilizat e mai tard diferents autors ensagèron de lo demostrar mejans los autres, l'impossibilitat de la dicha deduccion menèt a constatar qu'amb la geometria euclidiana existissián d'autres tipes de geometrias que lo cinquen postulat de Euclides ne fasiá pas partit. Seguent las modificacions introduchas dins aquel cinquen postulat ne sortiguèt de familhas diferentas de geometrias o d'espacis geometrics diferents entre eles:

• La geometria absoluda, qu'es l'ensemble dels faches geometrics derivables sonque a partir dels primièrs quatre postulats d'Euclides.
• La geometria euclidiana, qu'es la geometria particulara que s'obten en acceptant coma axiòma lo cinquen postulat. Los grècs consideravan doas variantas de geometria euclidiana:
  • Geometria plana
  • Geometria de l'espaci
• La geometria classica es compilacion dels resultats de las geometrias euclidianas.

A partir del sègle XIX se'n venguèt a la concluson que podián se definir de geometrias non euclidianas coma:

• La geometria elliptica
• La geometria esferica
• La geometria finida
• La geometria iperbolica
• La geometria riemanniana

Geometria associadas a transformacionalas

Al sègle XIX se constatèt que d'autra forma d'apròche dels concèptes geometrics èra d'estudiar l'invariança d'unas proprietats jos diferents tipes de transformacions matematicas, se classifiquèron alara diferentas proprietats geometricas dins de grops e se prepausèron de sosdisciplinas volent veire quinas èran las proprietats invariantas jos de tipes particulars de transformacions, apareguèron aital los seguents tipes d'apròches geometrics:

• Geometria afina
• Geometria confòrma
• Geometria convèxa
• Geometria discreta
• Geometria d'incidéncia
• Geometria ordenada
• Geometria projectiva

Geometria segon lo tipe de representacion

Pasmens se Euclides a la basa se limitèt a de concèptes geometrics representables mejançant de figuras (de punts, de linhas, de cercles, etc.), lo desvolopament d'autras brancas de las matematicas desconnectadas d'en primièr de la quita geometria, anava poder aplicar los instruments d'autras brancas a de problèmas pas que geometrics nasquèron aital:

• La geometria algebrica
• La geometria analitica
• La geometria descriptiva
• La topologia geometrica
• La geometria diferenciala qu'englòba las brancas coma:
  • Geometria diferenciala discreta
  • La geometria de la corbas e superfícias
    • La Geometria diferenciala de las corbas
    • La Geometria diferenciala de la superfícias
  • La Geometria diferenciala de las ipersuperfícias
  • Geometria diferenciala de las varietats
  • La geometria de Riemann
• La Geometria fractala
• Geometria sintetica

D'aplicacions geometricas

En mai de las quitas sosbrancas sorgiguèt fòrça aplicacions practicas de la geometria coma:

• • Geometria algoritmica
  • Geometria de construccion de solids
  • Geometria moleculara

Bibliografia

• Boyer, C. B. (1991) [1989].  {{{títol}}}. 
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Serias, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-70-5.
• Leonard Mlodinow, Euclid'S Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.