Магнетостатика

Станува збор за аналогот на електростатиката, каде полнежите се неподвижни. Магнетизацијата не мора да биде статична, равенките на магнетостатиката можат да се искористат за предвидување на брзите магнетно променливи настани кои се случуваат во временски периоди во текот на неколку наносекунди или помалку. Магнетостатиката е дури и добра приближност кога струите не се статични — сè додека струите не се менуваат брзо. Магнетостатиката е широко употреблива во микромагнетиката како што се направите за магнетно снимање.

Магнетостатиката како специјален случај за Максвеловите равенки

Започнувасјќи од Максвеловите равенки и под претпоставка дека полнежите се неподвижни или пак се движат како стабилна струја ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}$ , равенките се делат на две равенки за електричното поле (Погледајте електростатика) и две за магнетното поле. Полињата се независни од времето и едни од друго. Магнетостатичните равенки, во двата облика како диференцијални и интегрални се прикажани во табелата подолу.

Име	парцијален облик на равенка	Интегрален облик
Гаусов закон за магнетизам:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$	${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0}$
Амперов закон:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}}$	${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=I_{\mathrm {enc} }}$

Каде со ∇ се означува дивергенцијата, и B е густината на магнетмниот тек, првиот интеграл е на површина ${\displaystyle S}$  со насочеен површински елемент ${\displaystyle \scriptstyle d{\vec {S}}}$ . Каде J е густината на струјата и H е јачината на магнетното поле, вториот интеграл е линиски интеграл околу затворена јамка ${\displaystyle C}$  со линиски елемент ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {l}}}$ . Струјата која минува низ јамката е ${\displaystyle \scriptstyle I_{\text{enc}}}$ .

Употребливоста на оваа приближност може да се провери со споредување на гореспоменатите равенки со целосната верзија на Максвеловите равенки и да се земат предвид условите кои се отстранети. Од голема значајност е споредбата на условот ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}$  наспроти условот${\displaystyle \scriptstyle \partial {\vec {D}}/\partial t}$ . Ако условот ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}$  е значајно поголем, тогаш помалиот услов може да се занемари без значен губиток на прецизноста.

Воведување на Фарадеевиот закон

Вообичаена техника е да се решат серии на магнетостатични проблеми со зголемувачки временски чекори и за подоцна да се искористат овие решенија за да се определи приближноста на ${\displaystyle \scriptstyle \partial {\vec {B}}/\partial t}$ . Вметнувајќи го вој резултат во Фарадеевиот закон се добива вредност за ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {E}}}$  (која претходно беше занемарена). Овој метод не е вистинското решение на Максвеловите равенки но може да обезбеди добра приблиќност за споро променливите полиња.

Извори на струи

Ако сите струи во системот се познати (на пример, ако е достапен целосен опис на ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}$ ) тогаш магнетното поле може да се определи од струите со помош на Био-Саваровата равенка:

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}}$ 

Оваа техника работи доста добро за проблемите каде средината е вакуум, воздух или некој сличен материјал со релативна пермеабилност 1. Ова ги вклучува индукционите воздушно-јадрени трансформатори. Една предност на оваа техника е дека геометријата на сложената намотка може да се интегрира по делови, или пак за сложени геометриски облици да се искористи бројчено интегрирање. Бидејќи равенката е првично користена за да се решат линиски проблеми, целосниот одговор ќе биде сума од интегралот на секој дел од целината.

За проблеми каде доминира магнетниот материјал и имаме високо пермеабилно магнетно јадро со релативно мали воздушни празнини, може да се употреби пристапот на магнетно коло. Кога воздушните празнини се големи во споредба со должината на магнетнто коло, граничноста станува значајна и и затоа побарува пресметка на конечен елемент. Пресметката конечен елемент користи изменет облик на магнетостатички равенки од горните равенки за да се пресмета магнетниот потенцијал. Вредноста на ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}}$  може да се определи од магнетниот потенцијал.

Магнетното поле може да се изведе од векторскиот потенцијал. Бидејќи дивергенцијата на густината на магнетниот тек е секогаш нула,

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$ 

и односто на векторскиот потенцијал со струјата е:

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\vec {J}}{r}}dV}}$ 

каде ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}$  е густината на струјата.

Магнетизација

Силно магнетните материјали (на поример, феромагнетните, феримагнетите или парамагнетиците) имаат магнетизација која се должи на електонскиот спин. Во овие материјали магнетизацијата мора да биде експлицитно да биде вклучена користејќи ја релацијата:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {M}}+{\vec {H}}).}$ 

Со исклучок кај металите, електричните струи можат а се занемаратѕ. Тогаш Амперовиот закон го има обликот:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}=0.}$ 

Ова е општото решение

${\displaystyle {\vec {H}}=-\nabla U,}$ 

каде ${\displaystyle U}$  е скаларен потенцијал. Заменувајќи го ова во Гаусовиот закон се добива:

${\displaystyle \nabla ^{2}U=\nabla \cdot {\vec {M}}.}$ 

Па така, дивергенцијата на амгнетизацијата, ${\displaystyle \scriptstyle \nabla \cdot {\vec {M}},}$  има улога слична на електричниот полнеж во електостатикаѕа и четопати се нарекува како делотворна густина на струјата ${\displaystyle \rho _{M}}$ .

Вектоско потенцијалниот метод исто така може да го искористи делотворната густина на струјата:

${\displaystyle {\vec {J_{M}}}=\nabla \times {\vec {M}}.}$ 

• Дарвинов лангранжијан