Противречност

Суштината на Доказ со доведување до противречност се сосотои во следново: ако од негацијата на заклучокот и од претпоставката на теоремата следува некој исказ противречен на условот, некоја аксиома или теорема, тогаш тврдењето во теоремата е точно.

Познат пример на доказ со доведување до противречност е доказот дека ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  е ирационален број:

Да претпоставиме дека ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  е рационален број, па ${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$  каде a и b се ненулти цели заемно прости броеви. Значи, ${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$ . Квадрирајќи ги двете страни добиваме: 2b² = a². Бидејќи 2 ја множи левата страна, 2 мора да ја дели десната страна (тие се еднакви и се цели броеви). Значи a² е парен, што повлекува дека a мора да е парен. Можеме да напишеме a = 2c, каде c е исто така цел број. Со замена во почетната равенка добиваме 2b² = (2c)² = 4c². Ги делиме двете страни со 2 и добиваме b² = 2c². Но тогаш, исто како претходно, 2 го дели b², па b мора да е парен. Сепак, ако a и b се двата парни, тогаш имаат заеднички делител, имено 2. Ова противречи со нашата претпоставка, значи заклучуваме дека ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  е ирационален број.