Vektorinis Skaičiavimas

Vektorinis skaičiavimas yra svarbus diferencialinėje geometrijoje ir tiriant dalinių išvestinių diferencialines lygtis. Jis naudojama fizikoje ir inžinerijoje, ypač aprašant elektromagnetinius, gravitacinius laukus ir skysčio tekėjimą.

Vektorinis skaičiavimas buvo kuriamas iš kvaternijono analizės J. Willard Gibbs ir Oliver Heaviside XIX a. pabaigoje, didžiąją dalį jo notacijos ir terminologijos sukūrė Gibsas ir Edwin Bidwell Wilson jų 1901 m. knygoje Vektorinė analizė. 19 a. pabaigoje–20 a. pradžioje buvo sukurtas bendresnis už vektorinį skaičiavimą tenzorinis skaičiavimas.

Vektorinio skaičiavimo pagrindiniai objektai yra skaliariniai ir vektoriniai laukai. Tuomet naudojant skirtingas operacijas, jie yra sujungiami arba transformuojami ir galiausiai integruojami.

Algebrinės operacijos

Pagrindinės algebrinės (nediferencialinės) operacijos vektoriniame skaičiavime yra nurodomos kaip vektorinės algebros, bet nustatytos vektorine erdvei ir tada globaliai pritaikytos vektoriniui laukui, susideda iš:

Skaliarinės daugybos
skaliarinio ir vektorinio laukų sandauga, duodanti vektorinį lauką: ${\displaystyle a\mathbf {v} }$ ;
Vektorių sumos
dviejų vektorinių laukų suma, duodanti vektorinį lauką: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$ ;
Skaliarinė sandaugos
dviejų vektorinių laukų sudauginimas, duodantis skaliarinį lauką: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$ ;
Vektorinės sandaugos
dviejų vektorinių laukų sudauginimas, duodantis vektorinį lauką: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$ ;

Diferencialinės operacijos

Vektorinis skaičiavimas tiria diferencialinius operatorius, kurie veikia ant skaliarinių ar vektorinių laukų, paprastai išreiškiamų nabla operatoriumi (${\displaystyle \nabla }$ ). Keturios svarbiausios diferencialinės operacijos yra:

Operacija	Žymėjimas	Aprašymas	Veikimo sritis
Gradientas	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Įvertina kokiu greičiu ir kokia kryptimi keičiasi skaliarinis laukas.	Skaliarinius laukus keičia vektoriniais.
Apvija	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Įvertina tendenciją suktis apie tašką vektoriniame lauke.	Vektorinius laukus verčia (pseudo)vektoriniais.
Divergencija	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Įvertina šaltinio dydį arba nuleidžia duotame taške vektoriniame lauke.	Vektoriniai laukai verčiami į skaliarinius.
Laplasianas	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Divergencijos ir gradiento operacijų kombinacija.	Skaliariniai laukai verčiami į skaliarinius.

Yra keletas svarbių teoremų, kurios apibendrina skaičiavimą aukštesnėms dimensijoms:

Teorema	Sakinys
Gradiento teorema	${\displaystyle \int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$
Gryno teorema	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$
Stokso teorema	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

• Tenzorius