Kvaternijonas

Kvaternijono koncepciją sumanė airis Viljamas Rovanas Hamiltonas 1843 m.

Jei kompleksiniai skaičiai gaunami prie realiųjų skaičių pridedant įsivaizduojamą elementą ${\displaystyle i}$ , kur ${\displaystyle i^{2}=-1}$ , kvaternijonų aibė gaunama pridedant tris elementus ${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle j}$  ir ${\displaystyle k}$ , tenkinančius tokias sąlygas:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$ 

Kiekvienas kvaternijonas užrašomas formule:

${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ 

Skirtingai, nei realių ar kompleksinių skaičių, kvaternijonų daugyba yra nekomutatyvi, t. y. ${\displaystyle ij=k}$ , bet ${\displaystyle ji=-k}$ .

 

Taip pat menamųjų komponenčių porų sandaugų rezultatą galima vaizduoti cikline diagrama. Gretimų dviejų komponenčių sandauga nurodyta kryptimi yra lygi sekančiai komponentei, pvz.: ${\displaystyle ij=k}$ , ${\displaystyle jk=i}$ . Dauginant komponenčių poras priešinga kryptimi nei rodyklėmis nurodyta diagramoje gaunama trečia komponentė su neigiamu ženklu, pvz.: ${\displaystyle kj=-i}$ . Tą patį rezultatą galite matyti ir kvaternijonų daugybos lentelėje.

Kvaternijonus galima vaizduoti 2×2 dydžio kompleksinių skaičių matrica arba 4×4 dydžio realiųjų skaičių matrica. Taigi, kvaternijoną ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$  galima užrašyti:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a-di&-b+ci\\b+ci&\;\;a+di\end{pmatrix}}}$ 

Arba:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;d&-c\\\;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\\;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$ 

Kvaternijonai naudojami kompiuterinėje grafikoje objektų transformavimui trimatėje erdvėje. Kvaternijonai taip pat naudojami signalų apdorojime, fizikoje.