Plokštuma

Plokštumoje išsidėsčiusias geometrines figūras tirianti geometrijos šaka vadinama planimetrija.

Naudojant Dekarto koordinačių sistemą trimatėje erdvėje kiekviena plokštuma nusakoma lygtimi, kurios bendra forma yra:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0.\qquad }$

čia koeficientai ${\displaystyle a,b,c}$ yra plokštumai statmeno vektoriaus (dar vadinamu normalės vektoriumi) koordinatės.

Plokštuma yra svarbi geometrijos sąvoka, nes ji leidžia apibrėžti daugybę kitų geometrinių objektų: Dekarto koordinačių sistemą ir plokštumos figūras – trikampius, keturkampius, apskritimus ir kt.

Plokštumos apibendrinimas daugiamatėje erdvėje vadinamas hiperplokštuma.

 

Trimatėje euklidinėje erdvėje ℝ³ plokštuma yra apibūdinama tiesine lygtimi:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,.}$ 

čia x, y ir z yra plokštumos taško koordinatės, o a, b, c ir d yra realieji skaičiai ir bent vienas iš skaičių a, b, c nėra lygus nuliui.

 

• Per bet kuriuos du plokštumos taškus galima nubrėžti lygiai vieną tiesę, bet kuris šios tiesės taškas priklauso plokštumai;
• Per bet kuriuos tris erdvės taškus (kurie nėra toje pačioje tiesėje) galima nubrėžti tik vieną plokštumą;
• Dviejų nesutampančių plokštumų sankirta yra tiesi linija.
• Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.
• Dvi plokštumos, statmenos tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios.

Galimos tokios plokštumų tarpusavio padėtys:

1. Dvi skirtingos plokštumos trimatėje erdvėje gali neturėti bendrų taškų, t. y., būti lygiagrečios. Žymima ${\displaystyle \alpha \|\beta }$ .
2. Gali turėti bendrą tiesę, t. y., būti susikertančios. Žymima ${\displaystyle \alpha \nparallel \beta }$ . Tokiu atveju plokštumos sudaro dvisienį kampą, kuris yra lygus kampui tarp dviejų tų plokštumų statmenų dvisienio kampo briaunai.
3. Gali sutapti. Žymima ${\displaystyle \alpha =\beta }$ .

Trumpiausias atstumas tarp duotos plokštumos ${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,}$  ir taško ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ , kuris nebūtinai yra toje plokštumoje, yra lygus

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$ 

Iš to seka, kad taškas ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$  yra plokštumoje tada ir tik tada, kai ${\displaystyle D=0}$ . Jeigu ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$ , vadinasi a, b ir c yra normalizuoti, tada formulė supaprastėja:

${\displaystyle D=|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|\,.}$ 

• Eric W. Weisstein, Plane, MathWorld. (angl.)

Šis su geometrija susijęs straipsnis yra nebaigtas. Jūs galite prisidėti prie Vikipedijos papildydami šį straipsnį.