Плоскасць

Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.

У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бесканечнае мноства плоскасцей, размешчаных у прасторы.

Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.

• Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,\qquad (1)}$ 

дзе ${\displaystyle A,B,C}$  і ${\displaystyle D}$  — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў A, B і C не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці ${\displaystyle |A|+|B|+|C|\neq 0}$ ); у вектарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0,}$ 

дзе ${\displaystyle \mathbf {r} }$  — радыус-вектар пункта ${\displaystyle M(x,y,z)}$ , вектар ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$  перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары ${\displaystyle \mathbf {N} }$ :
${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$ 
${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$ 
${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$ 

Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры ${\displaystyle D=0}$  плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры ${\displaystyle A=0}$  (або ${\displaystyle B=0}$ , ${\displaystyle C=0}$ ) плоскасць паралельная восі ${\displaystyle Ox}$  (адпаведна ${\displaystyle Oy}$  або ${\displaystyle Oz}$ ). Пры ${\displaystyle A=B=0}$  (${\displaystyle A=C=0}$ , або ${\displaystyle B=C=0}$ ) плоскасць паралельная плоскасці ${\displaystyle Oxy}$  (адпаведна ${\displaystyle Oxz}$  або ${\displaystyle Oyz}$ ).

• Ураўненне плоскасці ў адрэзках:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$ 

дзе ${\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}$  — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях ${\displaystyle Ox,Oy}$  і ${\displaystyle Oz}$ .

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$  перпендыкулярна вектару нармалі ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$ :

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$ 

у вектарнай форме:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$ 

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$ , якія не ляжаць на адной прамой:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0,}$ 
дзе ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$  абазначае змешаны здабытак^[ru] вектараў x, y і z, па-іншаму

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$ 

• Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,\qquad (2)}$ 

у вектарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$ 

дзе ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$  — адзінкавы вектар, ${\displaystyle p}$  — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) дамнажэннем на нармавальны множнік

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ 

(знакі ${\displaystyle \mu }$  і ${\displaystyle D}$  супрацьлеглыя).

•   На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць
• Плоскость (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі