극한

이 문서는 극한의 일반적인 정의에 관한 것입니다. 실수 수열의 극한에 대해서는 수열의 극한#실수 수열 문서를, 실함수의 극한에 대해서는 함수의 극한#일변수 함수 문서를 참고하십시오.

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해석학 및 위상수학에서 극한(極限, 영어: limit)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

필터

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 
• ${\displaystyle X}$ 의 부분 집합들의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$ 
• ${\displaystyle x\in X}$ 

만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 가 점 ${\displaystyle x}$ 로 수렴한다(영어: the filter base ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  converges to the point ${\displaystyle x}$ )고 하며, ${\displaystyle x}$ 를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 의 극한이라고 한다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ 라고 쓴다.

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}$ . 즉, 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$ 에 대하여, ${\displaystyle B\subset U}$ 인 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ 가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ 는 ${\displaystyle x}$ 의 근방 필터이며, ${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}$ 는 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 의 상폐포다.)

다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle x}$ 가 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 의 집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다.

• ${\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B}$ . (여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} B}$ 는 ${\displaystyle B}$ 의 폐포다.)
• ${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'}$ 인 수렴 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)}$ 가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물

${\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X}$ 
${\displaystyle (b,B)\mapsto b}$ 

의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'}$ 

그물과 점렬

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 
• 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X}$ 
• ${\displaystyle x\in X}$ 

만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 가 점 ${\displaystyle x}$ 로 수렴한다(영어: the net ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$  converges to the point ${\displaystyle x}$ )고 하며, ${\displaystyle x}$ 를 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 의 극한이라고 한다. 이를 ${\displaystyle x_{i}\to x}$ 라고 쓴다.

• 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$ 에 대하여, ${\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U}$ 인 ${\displaystyle i_{0}\in I}$ 가 존재한다.

다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle x}$ 가 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 의 집적점이라고 한다.

• 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$  및 ${\displaystyle i_{0}\in I}$ 에 대하여, ${\displaystyle x_{i}\in U}$ 인 ${\displaystyle i\gtrsim _{I}i_{0}}$ 이 존재한다.
• ${\displaystyle x_{i(j)}\to x}$ 인 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (J,\lesssim _{J})}$  및 단조 공종 함수 ${\displaystyle i\colon J\to I}$ 가 존재한다.
• ${\displaystyle x_{i(j)}\to x}$ 이며 ${\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}}$ 인 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (J,\lesssim _{J})}$  및 함수 ${\displaystyle i\colon J\to I}$ 가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저

${\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}$ 

의 극한·집적점과 일치한다.

이에 따라, 필터 기저와 그물의 수렴에 대한 결과는 서로 대응하며, 서로를 함의한다.

점렬 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset X}$ 은 그물의 특수한 경우다 (${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ). 따라서 점렬의 극한·집적점을 정의할 수 있다. 점렬의 집적점은 부분 점렬의 극한과 동치다.

함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 
• 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 
• 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 
• ${\displaystyle x_{0}\in X}$ 
• ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ 

그렇다면, ${\displaystyle x_{0}}$ 의 빠진 근방들의 집합족

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$ 

은 ${\displaystyle X}$ 의 부분 집합들의 필터 기저를 이루며, 따라서 그 상 ${\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}$ 은 ${\displaystyle Y}$ 의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 ${\displaystyle f}$ 가 점 ${\displaystyle x_{0}}$ 에서 점 ${\displaystyle y_{0}}$ 로 수렴한다(영어: the map ${\displaystyle f}$  converges to the point ${\displaystyle y_{0}}$  at the point ${\displaystyle x_{0}}$ )고 하며, ${\displaystyle y_{0}}$ 을 ${\displaystyle f}$ 의 ${\displaystyle x_{0}}$ 에서의 극한이라고 한다. 이는

${\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})}$ 

라고 쓴다.

• ${\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}$ 는 ${\displaystyle y_{0}}$ 으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 ${\displaystyle V\ni y_{0}}$ 에 대하여, ${\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V}$ 인 근방 ${\displaystyle U\ni x_{0}}$ 이 존재한다.

${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ 가 실수선일 때, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}}$  대신

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$ 
${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$ 

을 사용하면 ${\displaystyle f}$ 의 ${\displaystyle x_{0}}$ 에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit)·우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다.

• Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• 이철희. “수열의 극한”. 《수학노트》. 
• “Limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Convergence”. 《nLab》 (영어). 
• “Limit of a function”. 《nLab》 (영어). 
• “Limit”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Limit examples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Limit of sequence of sets”. 《PlanetMath》 (영어).