Bektore Espazio

Izan bitez ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ eta ${\displaystyle V}$ multzoa, orduan ${\displaystyle VK}$ -espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:

1. ${\displaystyle (V,+)}$ Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa ${\displaystyle 0_{V}}$ denotatuko dugu.
2. Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:${\displaystyle {\begin{aligned}\cdot :K\times V\to V\\(k,v)\to k\cdot v\\\end{aligned}}}$  (eskalar eta bektore arteko biderketa)

Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta ${\displaystyle V}$ -ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:

• Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: ${\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\forall v\in V:(k_{1}+k_{2})\cdot v=k_{1}\cdot v+k_{2}\cdot v}$ 
• Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:${\displaystyle \forall v_{1},v_{2}\in V,\forall k\in K:(v_{1}+v_{2})\cdot k=v_{1}\cdot k+v_{2}\cdot k}$ 
• Elkartze propietatea: ${\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\forall v\in V:k_{1}(k_{2}\cdot v)=(k_{1}\cdot k_{2})\cdot v}$ 
• Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: ${\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 1_{K}=v}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ez da ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -espazio bektoriala zeren, nahiz eta ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.

Ostean, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -espazio bektoriala da, baita ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ espazio bektoriala da.

Beraz ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ gorputza izanik, ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K}$ espazio bektoriala da.

Espazio bektorialak: ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ espazio bektoriala da, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ espazio bektoriala da, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ espazio bektoriala da.

${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ espazio bektoriala bada:

${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle \forall k\in K:k\cdot 0_{V}=0_{V}}$ 

Badakigu ${\displaystyle 0_{V}=0_{V}+0_{V}}$ , orduan ${\displaystyle k\cdot 0_{V}=k\cdot (0_{V}+0_{V})=k\cdot 0_{V}+k\cdot 0_{V}}$  dugu, eta, beraz, ${\displaystyle k\cdot 0_{V}=k\cdot 0_{V}+k\cdot 0_{V}}$ . Adierazpena sinplifikatuz, ${\displaystyle 0_{V}=k\cdot 0_{V}}$  ondorioztatzen da.

${\displaystyle (ii)}$ ${\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 0_{K}=0_{V}}$ 

Badakigu ${\displaystyle 0_{K}=0_{K}+0_{K}}$ orduan ${\displaystyle v\cdot 0_{K}=v\cdot (0_{K}+0_{K})=v\cdot 0_{K}+v\cdot 0_{K}\Longrightarrow v\cdot 0_{K}=v\cdot 0_{K}+v\cdot 0_{K}}$ eta adierazpena sinplifikatuz ${\displaystyle 0_{V}=v\cdot 0_{K}}$ 

${\displaystyle (iii)}$ ${\displaystyle k\cdot v=0_{V}\Longleftrightarrow k=0_{K}edov=0_{V}}$ 

${\displaystyle \Longrightarrow }$ 

Demagun ${\displaystyle k\in K-\{0_{K}\}}$ dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa ${\displaystyle k^{-1}}$ , orduan ${\displaystyle k\cdot v=0_{V}}$ adierazpenean biderkatuz:

${\displaystyle (k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0_{V}\Longrightarrow 1_{K}\cdot v=0_{V}\Longrightarrow v=0_{V}}$ 

${\displaystyle \Longleftarrow }$ Frogatuta dago ${\displaystyle (i)}$ eta ${\displaystyle (ii)}$ -n.

${\displaystyle (iv)}$ ${\displaystyle -v=(-1_{K})\cdot v,\forall v\in V}$ 

Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: ${\displaystyle 0_{V}=v+(-1_{K})\cdot v}$ , badakigu ${\displaystyle v=(1_{K})\cdot v,\forall v\in V}$ , ordezkatu: ${\displaystyle (1_{K})\cdot v+(-1_{K})\cdot v=0_{V}}$ banatze propietatea erabiliz:

${\displaystyle v\cdot (1_{K}-1_{K})=0_{V}}$ eta badakigu ${\displaystyle 1_{K}-1_{K}=0_{K}}$ beraz ${\displaystyle v\cdot (1_{K}-1_{K})=v\cdot (0_{k})=0_{V}}$ 

${\displaystyle (v)}$  ${\displaystyle u+w=v+w\Longrightarrow u=v}$ 

${\displaystyle (vi)}$  ${\displaystyle 0v=0,\forall v\in V}$ 

${\displaystyle (vii)}$  ${\displaystyle \lambda 0=0,\forall \lambda \in K}$ 

${\displaystyle (viii)}$  ${\displaystyle (-\lambda )v=-\lambda v,\forall \lambda \in K}$  eta ${\displaystyle \forall v\in K}$ 

${\displaystyle (ix)}$  ${\displaystyle \lambda v=0\Longleftrightarrow \lambda =0}$  edo ${\displaystyle v=0}$ 

${\displaystyle (x)\lambda v=\mu v}$  eta ${\displaystyle v\neq 0\Longrightarrow \lambda =\mu }$ 

${\displaystyle (xi)}$ ${\displaystyle \lambda v=\lambda w}$  eta ${\displaystyle \lambda \neq 0\Longrightarrow v=w}$