Vektorski Prostor

Pojam vektorskog prostora nastao je apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije. Primjene su široke i uključuju temeljne discipline kao što su analiza i analitička geometrija.

Vektorski prostor definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element bilježimo znakom ${\displaystyle {\vec {0}}}$  ili o i zovemo nulvektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na binarne operacije zbrajanja i množenja (u apstraktnom smislu) označavamo s 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru ${\displaystyle \alpha \in F}$  i svakom vektoru ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$  pridružuje vektor ${\displaystyle \alpha \,{\vec {v}}\in V}$ , tako da vrijede sljedeći aksiomi:

1. ${\displaystyle \alpha (\beta {\vec {v}})=(\alpha \beta ){\vec {v}}}$  za sve ${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$  i ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ 
2. ${\displaystyle \alpha ({\vec {v}}+{\vec {w}})=\alpha {\vec {v}}+\alpha {\vec {w}}}$  za sve ${\displaystyle \alpha \in F}$  i ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$ 
3. ${\displaystyle (\alpha +\beta ){\vec {v}}=\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {v}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V}$  za sve ${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$  i ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ 
4. ${\displaystyle 1{\vec {v}}={\vec {v}},\forall {\vec {v}}\in V}$  za sve ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ 

Ovako definirano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Linearne kombinacije vektora i linearna ljuska

Neka je ${\displaystyle S\subset V}$  podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$  linearna kombinacija elemenata od ${\displaystyle S}$  ako se da napisati u obliku ${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}}$  gdje je ${\displaystyle k}$  prirodni broj i gdje su ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in S}$  i ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in F}$ . Također možemo reći da je ${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}}$  linearna kombinacija vektora ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$ . Kažemo da je ${\displaystyle W\subset V}$  je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz ${\displaystyle W}$  i sama u ${\displaystyle W}$ .

Ako je ${\displaystyle S\subset V}$  ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska ${\displaystyle {\text{span}}_{F}(S)}$  skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz ${\displaystyle S}$ . To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži ${\displaystyle S}$ .

Linearni operatori

Preslikavanje ${\displaystyle L:V\to W}$  među skupovima vektora dva vektorska prostora ${\displaystyle V}$  i ${\displaystyle W}$  nad istim poljem ili tijelom ${\displaystyle F}$  zovemo aditivnim ako ${\displaystyle L({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=L({\vec {v}}_{1})+L({\vec {v}}_{2})}$  za svaka dva vektora ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ , homogenim ako ${\displaystyle L(\alpha {\vec {v}})=\alpha L({\vec {v}})}$  za sve ${\displaystyle \alpha \in F,{\vec {v}}\in V}$  i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom ili linearnom transformacijom među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator često se izostavlja.

Afini prostor

Ako je F polje, skup A opremljen djelovanjem ${\displaystyle A\times V\to A,(a,{\vec {v}})\mapsto t_{\vec {v}}(a)}$ , translacijom za vektor Abelove grupe V, zovemo afini prostor (nad poljem F) ako je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$  na točki ${\displaystyle a}$  označava se s ${\displaystyle t_{\vec {v}}(a)}$  ili ${\displaystyle a+{\vec {v}}}$  i tumači kao translacija točke ${\displaystyle a}$  za vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ .

• Uvjet slobodnosti znači da ako je ${\displaystyle a+{\vec {v}}=a}$  za neki ${\displaystyle a}$  tada je ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {0}}}$ .

• Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke ${\displaystyle a,b\in A}$  postoji vektor ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$  takav da je ${\displaystyle a+{\vec {v}}=b}$ .
• Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s ${\displaystyle {\vec {v}}=b-a}$ .

Ovo reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka ${\displaystyle (a,b)}$  koji su krajevi usmjerene dužine, a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se translacijom mogu prevesti jedna u drugu, odnosno ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Unitarni prostori

Realni vektorski prostor ${\displaystyle V}$  opremljen bilinearnom preslikavanjem ${\displaystyle \left\langle ,\right\rangle :V\times V\to }$  koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačnodimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačnodimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Treba spomenuti i udžbenik Linearna Algebra, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. čiji je autor Krešimir Horvatić te udžbenik Linearna algebra, Element, Zagreb, 2022. čiji je autor Ljiljana Arambašić.

Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovno-matematičke gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.