Notation
- Buchstaben am Anfang des Alphabets stehen für beliebige Zahlen.
- Buchstaben in der Mitte des Alphabets stehen für natürliche Zahlen.
- Buchstaben am Ende des Alphabets stehen für Variablen.
- Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
- Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
Grundrechenarten
Bruchrechnung
Bezeichnungen
Definition
- (Zähler : Nenner)
- Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle
- Stammbruch:
- Echter Bruch:
- Unechter Bruch:
- Scheinbruch: mit einer ganzen Zahl
- Kehrbruch: und werden vertauscht
Rechenregeln
Vorzeichen
-
-
Erweitern und Kürzen
- für
Addition
-
Subtraktion
-
Multiplikation
-
Division
-
Prozentrechnung
Definitionen
- (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
- (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
Anteil am Grundwert | | | | | | | | | | |
Prozentsatz | 1 % | 2 % | 2,5 % | 4 % | 5 % | 6,25 % | ≈6,67 % | ≈8,33 % | ≈9,09 % | 10 % |
|
Anteil am Grundwert | | | | | | | | | | |
Prozentsatz | ≈11,11 % | 12,5 % | ≈14,29 % | ≈16,67 % | 20 % | 25 % | ≈33,33 % | 50 % | ≈66,67 % | 75 % |
Elementare Rechenoperationen
Elementare Funktionen
Gleichungen
Lösen von Gleichungen
-
-
-
- für
- für
- für jede bijektive Funktion
Lineare Gleichungen
Allgemeine Form
-
Lösungen
- falls
- keine Lösung falls
- unendlich viele Lösungen falls
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form
- mit
Diskriminante
-
Lösungen
- falls
- falls
- keine reelle Lösung falls
Quadratische Ergänzung
-
p-q-Form
-
Diskriminante
-
Lösungen
- falls
- falls
- keine reelle Lösung falls
Satz von Vieta
-
-
Algebraische Gleichungen
Allgemeine Form
-
Lösungen
- als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)
Zerlegung in Linearfaktoren
-
Polynomdivision
- wobei
- wobei
Ungleichungen
Lösen von Ungleichungen
-
-
-
-
-
-
- Die Umformungsregeln gelten analog auch für .
Spezielle Ungleichungen
Dreiecksungleichung
- für alle
Bernoullische Ungleichung
- für und
Youngsche Ungleichung
- für und mit
Ungleichungen bei Mittelwerten
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
- für und
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
- für und
Komplexe Zahlen
Darstellung
- mit Realteil , Imaginärteil und der imaginären Einheit
Potenzen der imaginären Einheit
-
-
-
-
Allgemein für :
-
-
-
-
Arithmetische Operationen
-
-
-
- für
Darstellung
- mit dem Betrag und dem Argument
Betrag
-
Argument
-
-
Darstellung
- mit der eulerschen Zahl
- (Eulersche Formel)
Umrechnungsformeln
-
-
Arithmetische Operationen
-
-
-
Potenzen
-
Wurzeln
- für (Einheitswurzeln)
- für
Rechenregeln
-
-
-
-
-
- (Teleskopsumme)
Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe
-
Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
-
Potenzsummen
-
-
Kombinatorische Summen
Binomischer Lehrsatz
-
Multinomialtheorem
-
Ungleichungen bei Summen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
- für alle und
Tschebyscheff-Ungleichungen
- für alle und
- für alle und
Minkowski-Ungleichung
- für alle und sowie
Hölder-Ungleichung
- für alle und sowie mit
Jensensche Ungleichung
- für jede konvexe Funktion , mit und alle
Literatur
This article uses material from the Wikipedia Deutsch article Formelsammlung Arithmetik, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Abrufstatistik · Autoren Der Inhalt ist verfügbar unter CC BY-SA 4.0, sofern nicht anders angegeben. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Deutsch (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.