Carnot-Kredsproces: Ideel varmekraftmaskine

Bortset fra på mikroskopisk niveau kan en Carnot-motor ikke fremstilles i virkeligheden, men den står som den teoretisk øvre grænse for varmekraftmaskiners effektivitet jf. Carnots sætning.

Carnot-processen blev formuleret af Sadi Carnot (1796-1832).

Under Carnots cyklus bliver en idealgas udsat for kompression og ekspansion, og processen kan deles op i fire delprocesser. Motoren er i kontakt med et varmt reservoir med temperaturen ${\displaystyle T_{\text{H}}}$  (${\displaystyle {\text{H}}}$  for Hot) og et koldt med temperaturen ${\displaystyle T_{\text{C}}}$  (${\displaystyle {\text{C}}}$  for Cold).

• I starten (1) har gassen den høje temperatur ${\displaystyle T_{\text{H}}}$  og udvides derfra isotermt, så temperaturen holdes konstant. Derved modtager gassen varmen ${\displaystyle Q_{\text{H}}}$  fra det varme reservoir. Den overførte varme under en isoterm ekspansion af en idealgas er givet ved:

${\displaystyle Q_{\text{H}}=nRT_{\text{H}}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$ 
hvor ${\displaystyle n}$  er stofmængden, ${\displaystyle R}$  er gaskonstanten, og ${\displaystyle V}$  er volumen.

• Gassen ekspanderer nu yderligere (2-3) adiabatisk, indtil temperaturen af gassen er faldet til ${\displaystyle T_{\text{C}}}$ . For en adiabatisk ekspansion gælder det, at:

${\displaystyle T_{\text{H}}V_{2}^{\gamma -1}=T_{\text{C}}V_{3}^{\gamma -1}}$ 
og derfor er forholdet mellem temperaturerne givet ved:
${\displaystyle {\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}=\left({\frac {V_{3}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}}$ 

• I den tredje proces komprimeres gassen nu (3-4) igen isoterm, hvilket får gassen til at afgive varmen ${\displaystyle Q_{\text{C}}}$  til reservoiret. Som før er denne varme givet ved:

${\displaystyle Q_{\text{C}}=-nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{4}}{V_{3}}}\right)=nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)}$ 
hvor det negative fortegn angiver, at varmen forlader gassen.

• Til sidst komprimeres gassen adiabatisk for at komme tilbage til tilstand 1 med temperaturen ${\displaystyle T_{\text{H}}}$ . Det gælder altså, at

${\displaystyle {\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{4}}}\right)^{\gamma -1}}$ 

 

Forholdet mellem ${\displaystyle Q_{\text{H}}}$  og ${\displaystyle Q_{\text{C}}}$  kan nu udledes. Fra de isoterme processer ses det, at:

${\displaystyle {\frac {Q_{\text{H}}}{Q_{\text{C}}}}={\frac {nRT_{\text{H}}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}{nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)}}={\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}{\frac {\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}{\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)}}}$ 

Fra de adiabatisk processer vides det, at volumenerne er relateret ved

${\displaystyle {\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}=\left({\frac {V_{3}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}=\left({\frac {V_{4}}{V_{1}}}\right)^{\gamma -1}}$ 

Omarrangeringen af ligningen viser:

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$ 

Da disse to brøker altså i virkeligheden er ens, forsimples udtrykket for varmeoverførslerne:

Jo større temperaturforskel, jo større er forskellen i varmeoverførsel. Denne ligning kan bruges til at definere temperatur.

Nyttevirkningen ${\displaystyle \eta }$  kan nu beregnes. Den er defineret som forholdet mellem den tilførte varme ${\displaystyle Q_{\text{H}}}$ , og det effektive arbejde ydet på omgivelserne ${\displaystyle W_{\text{out}}}$ :

${\displaystyle \eta ={\frac {W_{\text{out}}}{Q_{\text{H}}}}}$ 

Arbejdet kan findes ved at udnytte, at en fuldendt kredsproces har bevaret den indre energi, og at tilført arbejde derfor er minus den tilførte varme:

${\displaystyle \Delta W=-\Delta Q}$ 

Arbejde på gassen regner arbejde på omgivelserne som negativ:

${\displaystyle \Delta W=-W_{\text{out}}}$ 

Og den tilførte varme må blot være:

${\displaystyle \Delta Q=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}}$ 

Arbejdet, som kommer ud af en Carnot-motor, er altså:

${\displaystyle W_{\text{out}}=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}}$ 

Dette indsættes i udtrykket for nyttevirkningen:

${\displaystyle \eta ={\frac {Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}}{Q_{\text{H}}}}=1-{\frac {Q_{\text{C}}}{Q_{\text{H}}}}}$ 

Vha. lign. 1 kan varmen erstattes med temperaturerne:

Jo større temperaturforskel, jo bedre er varmeudnyttelsen altså. En nyttevirkning på 1 er en 100 % omdannelse af varme til arbejde, men det ses, at 100 % ikke kan opnås for endelige temperaturer.

Hvis en Carnot-proces forløber omvendt, udføres et arbejde for at transportere varme fra et koldt reservoir til et varmt. En omvendt Carnot-motor er således en varmepumpe. Nyttevirkningen er da også omvendt, da den beskriver, hvor meget varme kan pumpes i forhold til arbejdet:

${\displaystyle \eta _{\text{varmepumpe}}={\frac {Q_{\text{H}}}{W_{\text{out}}}}={\frac {1}{\eta _{\text{Carnot}}}}={\frac {1}{1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}}}}$ 

Det ses, at en Carnot-varmepumpe har en nyttevirkning på over 1.