Inverzna Funkcija

Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ⁻¹ (čitajte: f inverzno; ne miješati sa stepenovanje) dobijamo vijednost inverzne funkcije x, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Nema svaka funkcija svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:

${\displaystyle f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;\,\!}$

tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:

${\displaystyle f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32).\,\!}$

 

Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ^–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:

${\displaystyle {\text{If }}f(x)=y{\text{, then }}f^{-1}(y)=x{\text{.}}\,\!}$ 

Jedinstvenost

Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

Simetrija

Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ^–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ^–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{If }}&f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{X}{\text{,}}\\&{\text{then }}&f\circ f^{-1}=\mathrm {id} _{Y}{\text{.}}\end{aligned}}}$ 

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.\,\!}$ 

Inverzija kompozicije funkcija

 

Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom

${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$ 

Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.

Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:

${\displaystyle (f\circ g)(x)=3x+5}$ 

Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:

${\displaystyle (f\circ g)^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}(y-5)}$ 

Ovo je kompozicija g^–1 o ƒ^–1) (y).

Samoinverzija

Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}^{-1}=\mathrm {id} _{X}}$ 

Općenitije, funkcija ƒ: X → X je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka id_x. Takva funkcija se naziva involucija.

Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.\,\!}$ 

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:

Funkcija ƒ(x)	Inverzna ƒ–1(y)	Napomena
x + a	y – a
a – x	a – y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x	1 / y	x, y ≠ 0
x2	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$	samo x, y ≥ 0
x3	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$	bez restrikcija na x and y
xp	y1/p (npr. ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$ )	x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0
ex	ln y	y > 0
ax	loga y	y > 0 i a > 0
trigonometrijske funkcije	inverzne trigonometrijske funkcije	razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)

Formula za inverznu funkciju

Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ^–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}\,\!}$ 

tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)³}} za x:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$ 

Tako je inverzna funkcija ƒ^–1 data formulom

${\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.\,\!}$ 

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

${\displaystyle f(x)=x+\sin x,\,\!}$ 

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ^–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.

• Inverzna trigonometrijska funkcija
• Logaritam
• Teorem inverzne funkcije
• Inverzne funkcije i diferencijacije
• Inverzna relacija
• Inverzni element

• Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd izd.), Publish or Perish, ISBN 0914098896
• Stewart, James (2002), Calculus (5th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397