Комплекслы Анализ

Һәр ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$  комплекслы функция, уның ярашлы рәүештә ысын һәм уйланма өлөшөн билдәләүсе, ике үҙгәреүсәндең ысын функциялар пары итеп ҡаралырға мөмкин: ${\displaystyle f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$ . ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$  функциялары ${\displaystyle f(z)}$  комплекслы функцияһының компоненттары тип аталалар.

Артабан комплекслы функцияның сикләнгәнлеге тураһында әйтелгән һәр ерҙә, уның модуленең сикләнгәнлеге күҙ уңында тотола (бынан ике компонентының да ғәҙәттәге мәғәнәлә сикләнгәнлеге килеп сыға).

Эҙмә-эҙлелек һәм функция өсөн сикләнмә төшөнсәһе, абсолют дәүмәлде комплекслы модулгә алмаштырып, ысын функция осрағындағы кеүек үк индерелә. Әгәр ${\displaystyle \lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi}$  булһа, ул саҡта ${\displaystyle \lim _{x\to a,\;y\to b}u(x,\;y)=A}$  һәм ${\displaystyle \lim _{x\to a,\;y\to b}v(x,\;y)=B}$ . Киреһе лә дөрөҫ: компоненттарҙың сикләнмәләре булһа, функцияның үҙенең дә сикләнмәһе булыуы килеп сыға, һәм сикләнмәнең компоненттары компоненттарҙың сикләнмәләре була. Комплекслы функцияның өҙлөкһөҙлөгө билдәләмәһе, шулай уҡ ысын функция осрағындағы кеүек индерелә, һәм ул уның ике компонентының өҙлөкһөҙлөгөнә тиң көслө .

Ысын функцияларҙың сикләнмәһе һәм өҙлөкһөҙлөгө тураһында бөтә төп теоремалар, әгәр ул киңәйтеү комплекслы дәүмәлдәрҙе ҙурыраҡ-бәләкәйерәк сағыштырыуы менән бәйле булмаһа, комплекслы функция осрағында ла урынлы. Мәҫәлән, өҙлөкһөҙ функцияның аралағы ҡиммәттәр тураһында теоремаһының тура аналогы юҡ.

${\displaystyle z_{0}}$  һанының ${\displaystyle \varepsilon }$ -эргә-яғына, ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһенән ${\displaystyle \varepsilon }$ -дан кәмерәк алыҫлыҡта ятҡан ${\displaystyle z}$  нөктәләр күмәклеге итеп билдәләмә бирелә:

${\displaystyle |z-z_{0}|<\varepsilon }$ 

Комплекслы яҫылыҡта ${\displaystyle \varepsilon }$ -эргә-яҡ, ${\displaystyle \varepsilon }$  радиуслы һәм үҙәге ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә булған түңәрәгенең эске өлкәһенән ғибәрәт.

Комплекслы анализда йыш ҡына, ғәҙәттәге менән сағыштырғанда, сикһеҙ алыҫ нөктә ${\displaystyle z=\infty }$  менән тулыландырылған, тулы комплекслы яҫылыҡты ҡарау файҙалы. Бындай ҡараш булғанда, сикһеҙ үҫә барыусы (модуле буйынса) эҙмә-эҙлелек сикһеҙ алыҫ нөктәгә йыйыла тип иҫәпләнә. Сикһеҙлек менән алгебраик ғәмәлдәр башҡарылмай, шулай ҙа бер нисә алгебраик нисбәт урынлы:

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}$ 
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}$ 

Сикһеҙ алыҫ нөктәнең ${\displaystyle \varepsilon }$ -эргә-яғы тип, модуле ${\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon }}}$ -ҙән ҙур булған ${\displaystyle z}$  нөктәләр күмәклеге, йәғни координаталар башының ${\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon }}}$ -эргә-яғының тышҡы өлкәһе иҫәпләнә.

Билдәләмә

Бер аргументтың ${\displaystyle w=f(z)}$  комплекслы функцияһы өсөн сығарылма, ысын функция өсөн билдәләнгән кеүек үк билдәләнә :

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}$ 

(бында ${\displaystyle h}$  — комплекслы һан). әгәр был сикләнмә булһа, функция дифференциалланыусы йәки голоморфлы тип атала. Был ваҡытта

${\displaystyle f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h).}$ 

Бер мөһим үҙенсәлекте иҫәпкә алырға кәрәк: комплекслы функция яҫылыҡта бирелгәнлектән, килтерелгән сикләнмәнең булыуы, ул ${\displaystyle z}$ -ҡа теләһә ниндәй йүнәлештән ынтылғанда ла бер үк тигәнде аңлата. Был факт ${\displaystyle u,\;v}$  компонент-функцияларҙың күренешенә мөһим сикләүҙәр ҡуя һәм уларҙың ныҡлы үҙ-ара бәйләнешен билдәләй (Коши — Риман шарттары, улар инде Эйлер — Даламбер шарттарын):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$ 

Бынан, ${\displaystyle u}$  һәм ${\displaystyle v}$  компоненттарының дифференциалланыусанлыҡтары функцияның үҙенең дифференциалланыусанлығы өсөн етерлек түгел икәне килеп сыға.

Улай ғына түгел, комплекслы анализды ысын анализдан айырып тороусы түбәндәге үҙсәнлектәр дөрөҫ:

• ${\displaystyle z}$  нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында дифференциалланыусы һәр комплекслы функция сикһеҙ һан тапҡыр дифференциалланыусы һәм аналитик, йәғни уның Тэйлор рәте был эргә-яҡтың бөтә нөктәләрендә лә бирелгән функцияға йыйыла (әҙәбиәттә аналитик функция термины менән бер рәттән шулай уҡ уның «голоморфлы функция», «регуляр функция» синонимдары ҡулланыла).
• (Лиувилль теоремаһы): Әгәр функция бөтә комплекслы яҫылыҡта дифференциалланыусы булһа һәм константа булмаһа, ул саҡта уның модуле сикләнгән була алмай.
• Дифференциалланыусы комплекслы функцияның ике компоненты ла гармоник функциялар булалар, йәғни Лаплас тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндерәләр:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}$ 

• Теләһә ниндәй гармоник функция ысын булырға, шулай уҡ дифференциалланыусы функцияның уйланма компоненты булырға мөмкин. Был ваҡытта икенсе компонент, константа-ҡушылыусыға тиклем аныҡлыҡ менән, бер ҡиммәтле билдәләнә (Коши — Риман шартынан).

Шулай итеп, теләһә ниндәй дифференциалланыусы комплекслы функция — ул ${\displaystyle u+iv}$  күренешендәге функция, бында ${\displaystyle u,\;v}$  — ике аргументтың үҙ-ара бәйле гармоник функциялары.

Башҡа үҙсәнлектәре

${\displaystyle f(z)}$  һәм ${\displaystyle g(z)}$  функциялары ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  өлкәһендә дифференциалланыусы функциялар икән ти. Ул саҡта ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$  һәм ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$  шулай уҡ был өлкәлә дифференциалланыусы. Әгәр ${\displaystyle g(z)}$  ${\displaystyle G}$  өлкәһендә нулгә әйләнмәһә, ул саҡта ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$  ${\displaystyle G}$ -ла дифференциалланыусы була. ${\displaystyle f(g(z))}$  функциялар композицияһы, үҙе билдәләнгән бөтә ерҙә дифференциалланыусы була. Әгәр ${\displaystyle w=f(z)}$  функцияһының ${\displaystyle G}$  өлкәһендә сығарылмаһы нулгә әйләнмәһә, ул саҡта уға кире функция ${\displaystyle z=\varphi (w)}$  бар, һәм ул дифференциалланыусы була.

Сумма, айырма, ҡабатландыҡ, бүлендек, функциялар композициялары һәм кире функциялар өсөн сығарылма, ысын анализдағы кеүек үк формулалар буйынса иҫәпләнә.

Сығарылманың геометрик мәғәнәһе

 

Һәр ${\displaystyle w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$  комплекслы функция ${\displaystyle (x,\;y)}$  координаталы комплекслы яҫылыҡтың ${\displaystyle (u,\;v)}$  координаталы икенсе комплекслы яҫылыҡҡа ниндәйҙер сағылышын билдәләй. Был ваҡытта

${\displaystyle \left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)}$  аңлатмаһын бәләкәй ${\displaystyle h}$  өсөн геометрик масштаблау коэффициенты тип аңлатырға мөмкин, ул ${\displaystyle z}$  нөктәһенән ${\displaystyle z+h}$  нөктәһенә күскәндә был сағылышты башҡара.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}k(h)}$  сикләнмәһенең булыуы, йәғни ${\displaystyle |f^{\prime }(z)|=k}$  сығарылмһының модуле, масштаблау коэффициенты ${\displaystyle z}$  нөктәһенән бөтә йүнәлештә бер төрлө тигәнде аңлата, йәғни йүнәлешкә бәйле түгел. Дөйөм алғанда, масштаблау коэффициенты нөктәнән нөктәгә үҙгәрә.

Әгәр масштаблау коэффициенты ${\displaystyle k>1}$  булһа, ул саҡта ${\displaystyle z}$  нөктәһенең эргә-яғында нөктәләр араһындағы алыҫлыҡтар арта, һәм масштаблау коэффициентын һуҙыу коэффициенты тип атайҙар. Әгәр масштаблау коэффициенты ${\displaystyle k<1}$  булһа, ул саҡта ${\displaystyle z}$  нөктәһенең эргә-яғында нөктәләр араһындағы алыҫлыҡтар кәмей, һәм масштаблау коэффициентын ҡыҫыу коэффициенты тип атайҙар. ${\displaystyle f(z)=z^{2}+2z-1}$  функцияһы өсөн миҫал: ${\displaystyle z=1}$  нөктәһендә сығарылма 4-кә тигеҙ, шуға күрә бөтә оҙонлоҡтар дүрт тапҡыр арта.

Сығарылманың аргументына килгәндә, ул бирелгән ${\displaystyle z}$  нөктәһе аша үткән шыма кәкренең боролоу мөйөшөн билдәләй. Бындай сағылыш ваҡытында бөтә шыма кәкре һыҙыҡтар бер үк мөйөшкә боролалар. Мөйөштө һаҡлаусы сағылыштар конформлы тип аталалар; шулай итеп, теләһә ниндәй дифференциалланыусы комплекслы функция конформлы сағылышты билдәләй (уның сығарылмаһы нулгә әйләнмәгән өлкәлә). Комплекслы функцияларҙың картографияла һәм гидродинамикала киң ҡулланылыуы ошо факт менән бәйле.

Комплекслы функцияларҙы интеграллау

Комплекслы функцияның сығарылмаһы төшөнсәһе (аныҡ интегралы), ысын функция осрағындағы кеүек индерелә. Әммә комплекслы яҫылыҡтың ${\displaystyle a}$ -нан ${\displaystyle b}$ -ға тиклем интервалда аныҡ интегралдың аналогы юҡ, дөйөм әйткәндә, булмай, сөнки башланғыс нөктәнән һуңғы нөктәгә тиклем юл аныҡ түгел. Шуға күрә комплекслы интегралдың төп төрө булып, конкрет юлға бәйле кәкре һыҙыҡлы интеграл тора. Түбәндә интеграл юлға бәйле булмаһын өсөн үтәлергә тейеш булған шарттар килтерелә, һәм шул саҡта «нөктәнән алып нөктәгә тиклем» интеграл корректно билдәләнергә мөмкин.

${\displaystyle z=z(t),\;a\leqslant t\leqslant b}$  тигеҙләмәһе комплекслы яҫылыҡта ниндәйҙер ${\displaystyle \gamma }$  өлөшләтә-шыма кәкре һыҙыҡты бирһен ти, ә ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы был кәкренең нөктәләрендә бирелһен. Параметр бирелгән интервалды ${\displaystyle n}$  тигеҙ өлөшкә бүләйек: ${\displaystyle a=t_{0}$  һәм

${\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n}f(z(t_{k}))(z(t_{k})-z(t_{k-1}))}$  интеграль сумманы ҡарайыҡ.

Был сумманың ${\displaystyle n}$  сикһеҙ ҙурайғанда сикләнмәһе (комплекслы) был ${\displaystyle f(z)}$  функцияһынан ${\displaystyle \gamma }$  кәкреһе буйлап интеграл тип атала; ул ошолай тамғалана:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$ 

Теләһә ниндәй ${\displaystyle \gamma }$  буйынса өҙлөкһөҙ ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы өсөн, был интеграл бар һәм параметр буйынса ғәҙәттәге ысын интеграл аша иҫәпләп сығарылырға мөмкин:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=\int \limits _{a}^{b}\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int \limits _{\gamma }\!(u\,dx-v\,dy)+i\int \limits _{\gamma }\!(v\,dx+u\,dy).}$ 

Бында ${\displaystyle u,\;v}$  — ${\displaystyle f(z)}$ -тың компоненттары. Был күренештән шунда уҡ комплекслы интегралдың үҙсәнлектәре ысын кәкре һыҙыҡлы интегралдың үҙсәнлектәренә оҡшаш икәне килеп сыға.

Контурлы интеграл

Контур (йомоҡ) буйынса, йәғни үҙ-үҙе менән киҫешеү нөктәләре булмаған, башланғыс нөктәһе һуңғы нөктә менән тап килгән, өлөшләтә-шыма кәкре буйлап интегралдар айырым практик ҡыҙыҡһыныу тыуҙыралар. Контурҙы ике йүнәлештә урап сығырға мөмкин; контур менән сикләнгән өлкә хәрәкәт итеү юлынан һул яҡта ҡалған йүнәлеш ыңғай тип һанала.

Әгәр ${\displaystyle \gamma }$  кәкреһе йомоҡ контур барлыҡҡа килтерһә, интегралдың айырым тамғаланышы ҡулланыла:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$ 

Мөһим Кошиҙың интеграль теоремаһы бар: ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$  бер бәйле өлкәлә теләһә ниндәй аналитик ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы һәм теләһә ниндәй йомоҡ ${\displaystyle \gamma \subset A}$  контуры өсөн, уның буйынса интеграл нулгә тигеҙ:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=0}$ .

Эҙемтә: ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы бер бәйле ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$  өлкәһендә аналитик булһын ти, ә ${\displaystyle A}$  өлкәһенән ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$  нөктәләре ниндәйҙер ${\displaystyle \gamma }$  кәкреһе менән тоташтырылһын. Ул саҡта ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz}$  интегралы тик ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$  нөктәләренә генә бәйле, ләкин уларҙы тоташтырыусы ${\displaystyle \gamma }$  кәкреһен һайлауға бәйле түгел, шуға күрә уны ${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}}$  тип тамғаларға мөмкин, һәм Ньютон — Лейбниц теоремаһы дөрөҫ:

${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}),}$ 

бында ${\displaystyle F(z)}$  — ${\displaystyle f(z)}$  өсөн алынма.

Кошиҙың интеграль теоремаһының күп бәйле өлкә өсөн дөйөмләштерелеүе бар: әгәр функция йомоҡ бер бәйле өлкәлә аналитик булһа, ул саҡта өлкәнең тышҡы контуры буйынса унан интеграл бөтә эске контурҙар буйлап интегралдарҙың (тышҡы контурҙағы йүнәлеш кеүек үк йүнәлештә) суммаһына тигеҙ. Был дөйөмләштереүҙе, өлкәлә функцияның, функция аналитик булмаған йәки билдәләнмәгән, айырым нөктәһе булғанда (түбәндәрәк ҡарағыҙ) ҡулланыу уңайлы.

Комплекслы һәм ысын интегралдарҙы өйрәнеү өсөн башҡа ҡеүәтле инструменттар:

• Кошиҙың интеграль формулаһы һәм уның эҙемтәһе: модулдең максимум принцибы, урта тураһында теоремалар
• Вычеттар тураһында төп теорема

${\displaystyle f(z)}$  функцияһының нуле тип функция нулгә әйләнгән ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһе атала: ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ .

Аналитик функцияның нулдәре тураһында теорема. Әгәр ${\displaystyle D}$  өлкәһендә аналитик ${\displaystyle f(z)}$  функцияһының нулдәренең ${\displaystyle D}$  эсендә сикке нөктәһе булһа, ул саҡта ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы ${\displaystyle D}$ -ла бөтә ерҙә нулгә тигеҙ.

Эҙемтә: әгәр ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы ${\displaystyle D}$  өлкәһендә аналитик булһа һәм нулгә тождестволы тигеҙ булмаһа, ул саҡта теләһә ниндәй сикләнгән йомоҡ ${\displaystyle C\subset D}$  аҫөлкәһендә уның тик сикле һанда ғына нулдәре булырға мөмкин.

Аналитик функцияның берҙән берлеге тураһында теорема. ${\displaystyle \{z_{n}\}}$  — ${\displaystyle D}$  өлкәһенең төрлө нөктәләренең йыйылыусан эҙмә-эҙлелеге булһын ти. Әгәр ике аналитик ${\displaystyle f(z),g(z)}$  функциялары был эҙмә-эҙлелектең бөтә нөктәләрендә лә тап килһәләр, ${\displaystyle D}$ -ла тождестволы тигеҙҙәр.

Атап әйткәндә, әгәр ике аналитик функция ${\displaystyle D}$ -ның ниндәйҙер өлөшләтә-шыма кәкреһендә тап килһәләр, ул саҡта улар ${\displaystyle D}$ -ла бөтә ерҙә тап киләләр. Был, аналитик функцияның өлкәнең хатта ҙур булмаған участкаһындағы ҡиммәте функцияның бөтә билдәләнеү өлкәһендәге үҙ-үҙен тотошон тулыһынса билдәләй тигәнде аңлата. Аналитик функцияны кәкре һыҙыҡта биреп (мәҫәлән, ысын күсәрҙә), беҙ уның киңерәк өлкәгә киңәйеүен (әгәр ул мөмкин булһа) бер төрлө билдәләйбеҙ, ул баштағы функцияның аналитик дауамы тип атала.

Анализдың бөтә стандарт функциялары — күпбыуын, кәсерле-һыҙыҡлы функция, дәрәжәле функция, экспонента, тригонометрик функциялар, кире тригонометрик функциялар, логарифм — комплекслы яҫылыҡҡа аналитик дауам итергә мөмкинлек бирәләр. Был ваҡытта, ысын оригинал өсөн булған алгебраик, дифференциаль һәм башҡа тождестволар, уларҙың аналитик дауамдары өсөн шул уҡ була, мәҫәлән:

${\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}}$ 

Дәрәжәле рәт

Комплекслы анализда һанлы рәттең суммаһы билдәләмәһе һәм йыйылыусанлыҡ билдәһе, абсолют дәүмәл төшөнсәһен комплекслы модулгә генә алмаштырып, ысын анализдағы кеүек үк; айырма тик рәттең элементтарының модулдәрен түгел, ә үҙҙәрен ҙурыраҡ-бәләкәйерәккә сағыштырыу булған рәттәрҙең йыйылыусанлыҡ билдәһендә генә бар.

Һәр ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә дифференциалланыусы функция был нөктәнең тирә-яғында дәрәжәле Тейлор рәтенә тарҡала:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ 

Рәттең коэффициенттары ғәҙәттәге формулалар буйынса иҫәпләнәләр. Был рәт, ниндәйҙер ${\displaystyle R}$  радиуслы, үҙәге ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә булған, ысын рәттең йыйылыусанлыҡ интервалы аналогы булып хеҙмәт иткән түңәрәктә, ${\displaystyle f(z)}$  функцияһына йыйыла. Был түңәрәктә рәт абсолют йыйыла, ә унан ситтә тарала. Был ваҡытта өс осраҡ булырға мөмкин.

1. Рәт сикле һәм нулдән айырмалы радиуслы түңәрәктә йыйыла.
2. Рәт бөтә комплекслы яҫылыҡта йыйыла, йәғни ${\displaystyle R=\infty }$ . Бындай функциялар бөтөн тип аталалар.
3. Рәт тик ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә генә йыйыла. Миҫал: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}}$ . Бындай ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәләр ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы өсөн айырым нөктәләр тип аталалар. Айырым булмаған нөктәләр дөрөҫ нөктәләр тип аталалар. Йыйылыусанлыҡ түңәрәктәренең эсе дөрөҫ нөктәләрҙән тора.

Йыйылыусанлыҡ түңәрәге сигенең бер генә булһа ла айырым нөктәһе була. Бынан, ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә йыйылыусанлыҡ түңәрәгенең радиусы ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһенән алып уға иң яҡын ятҡан айырым нөктәгә тиклем алыҫлыҡҡа тигеҙ булыуы килеп сыға.

Абель теоремаһы: әгәр ${\displaystyle R}$  — дәрәжәле рәттең йыйылыусанлыҡ түңәрәге радиусы булһа, ул саҡта үҙәге шул уҡ, ләкин бәләкәйерәк радиуслы теләһә ниндәй түңәрәктә, рәт тигеҙ йыйыла.

Лоран рәте

Функцияның үҙ-үҙен тотошон айырылған айырым нөктәнең, йәғни эргә-яғында функция аналитик, ләкин нөктәнең үҙендә йә аналитик түгел, йә билдәләнмәгән нөктәнең эргәһендә тикшереү ҙур практик әһәмиәткә эйә. Дәрәжәле рәт бында файҙаһыҙ, шуға күрә дөйөмөрәк булған Лоран рәте индерелә:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}}$ 

Әгәр Лоран рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе буш булмаһа, ул түңәрәк ҡулсанан ғибәрәт: ${\displaystyle r<|z-z_{0}|$ .

Төп теорема: әгәр ${\displaystyle f(z)}$  функцияһы түңәрәк ҡулсала аналитик булһа, ул был ҡулсала йыйылыусан Лоран рәте итеп күрһәтелә ала, шуның менән бергә бер төрлө.

Дәрәжәле рәт өсөн булған кеүек, йыйылыусанлыҡ ҡулсаһының сиктәре функцияның айырым нөктәләренең таралыуы менән билдәләнә. Лоран рәтенең күренеше буйынса функцияның ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһе янында үҙ-үҙен тотошо тураһында ҡайһы бер һығымталар яһарға мөмкин.

1. Бөтөрөлә алған айырым нөктә: әгәр Лоран рәтендә тиҫкәре дәрәжәле ${\displaystyle z-z_{0}}$  элементтар булмаһа, ул саҡта ул тик ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһен уратыусы ниндәйҙер түңәрәктә функцияны билдәләүсе дәрәжәле рәт. Был түңәрәктә рәттең суммаһы сикле һәм ${\displaystyle f(z)}$ -тан тик ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә генә айырыла ала, шуға күрә функция бөтә түңәрәктә аналитик булһын өсөн ${\displaystyle f(z_{0})}$ -ны киренән билдәләү етә. Ошондай билдә бар: әгәр функция ${\displaystyle z_{0}}$  эргәһендә аналитик һәм сикле булһа, ул саҡта ${\displaystyle z_{0}}$  — бөтөрөлә алған айырым нөктә.
2. Полюс: әгәр Лоран рәтендә сикле һанда тиҫкәре дәрәжәле ${\displaystyle z-z_{0}}$  элементтар булһа, был осраҡта функция ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә сикһеҙ (модуле буйынса).
3. Мөһим айырым нөктә: әгәр Лоран рәтендә сикһеҙ һанда тиҫкәре дәрәжәле ${\displaystyle z-z_{0}}$  элементтар булһа, был осраҡта функция ${\displaystyle z_{0}}$  нөктәһендә, өҙлөкһөҙ булырлыҡ итеп корректно билдәләнә алмай.

Йомоҡ контурҙар буйынса күп ҡатмарлы интегралдар КҮФТ-ның өлөшө булған вычеттар теорияһы ярҙамында иҫәпләнәләр.

Ысын анализ терминдарында интерпретациялана алмаған ҡайһы бер осраҡтар комплекслы анализ саралары менән аңлатылалар. Классик миҫал килтерәйек:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$  функцияһы бөтә ысын тура һыҙыҡта өҙлөкһөҙ һәм сикһеҙ дифференциалланыусы.

Уның Тейлор рәтен ҡарайыҡ

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$ 

${\displaystyle \pm 1}$  нөктәләре ${\displaystyle f(x)}$  функцияһы өсөн ниндәйҙер айырым нөктәләр булмаһа ла, был рәт тик ${\displaystyle (-1;\;1)}$  интервалында ғына йыйыла.

Комплекслы үҙгәреүсәнле ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$  функцияһына күскәндә хәл асыҡлана, уның ике айырым нөктәһе бар икәне күренә: ${\displaystyle \pm i}$ . Ярашлы рәүештә, был функцияны Тейлор рәтенә тик ${\displaystyle \Delta =\{z\colon |z|<1\}}$  түңәрәгендә генә тарҡатырға мөмкин.

Комплекслы анализда төп хеҙмәттәр Эйлер, Риман, Коши, Вейерштрасс һәм башҡа күп билдәле математиктарҙың исемдәре менән бәйле. Конформлы сағылыштар теорияһы инженер эшендә ҡулланылыуы арҡаһында йылдам үҫә башлай, комплекслы анализдың ысулдары һәм һөҙөмтәләре һандарҙың аналитик теорияһында ҡулланыла. Комплекслы анализ менән ҡыҙыҡһыныуҙарҙың яңы тулҡыны комплекслы динамика һәм фракталдар теорияһы менән бәйле.

• Аналитик функция
• Вычет (комплекслы анализ)
• Голоморфлы функция
• Кватернион анализ
• Комплекслы һандар
• Күп үлсәмле комплекслы анализ
• Моноген функция

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — М.: Наука, 1981. — 304 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0155-2.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ҡалып:Разделы математики