Inductancia

${\displaystyle L={\Phi N \over I}}$

La inductancia depende de les carauterístiques físiques del conductor y del llargor del mesmu. Si endólcase un conductor, la inductancia apaez. Con munches espiras va tenese más inductancia que con poques. Si a esto añadimos un nucleu de ferrita, vamos aumentar considerablemente la inductancia.

El fluxu qu'apaez nesta definición ye'l fluxu producíu pola corriente ${\displaystyle I}$ puramente. Nun tienen d'incluyir se fluxos producíos por otres corrientes nin por imanes asitiaos cerca nin por ondes electromagnétiques.

Esta definición ye de poca utilidá porque ye difícil midir el fluxu abrazáu por un conductor. Sicasí pueden midise les variaciones del fluxu y eso namái al traviés de la Tensión Llétrico ${\displaystyle V}$ inducida nel conductor pola variación del fluxu. Con ello llegamos a una definición de inductancia equivalente pero fecha a base de cantidaes que pueden midise, esto ye, la corriente, el tiempu y la tensión:

${\displaystyle V_{L}=L{\Delta I \over \Delta t}}$

El signu de la tensión y de la corriente son los siguientes: si la corriente qu'entra pola estremidá A del conductor, y que va escontra la otra estremidá, aumenta, la estremidá A ye positiva con al respective de la opuesta. Esta frase tamién puede escribise al aviesu: si la estremidá A ye positiva, la corriente qu'entra por A aumenta col tiempu.

Nel SI, la unidá de la inductancia ye'l henrio (H), llamada asina n'honor al científicu d'Estaos Xuníos Joseph Henry. 1 H = 1 Wb/A, onde'l fluxu espresar en weber y l'intensidá n'amperios.

El términu "inductancia" foi emplegáu per primer vegada por Oliver Heaviside en febreru de 1886, ente que'l símbolu ${\displaystyle L}$ utilizar n'honor al físicu Heinrich Lenz.La cantidá física inversa llámase dissuadancia.

La inductancia siempres ye positiva, salvu en ciertos circuitos electrónicos especialmente concebíos p'asemeyar inductancias negatives, y los valores de inductancia práuticos, van d'unos décimos de nH pa un conductor de 1 milímetru de llargu, hasta delles decenes de miles de Henrios pa bobines feches de miles de vueltes alredor de nucleos ferromagnéticos.

Inductancia Mutua

Como se va ver de siguío, la inductancia (mutua y autoinductancia) ye una carauterística de los circuitos, dependiente de la xeometría de los mesmos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos poles curves ${\displaystyle \gamma _{1}}$  y ${\displaystyle \gamma _{2}}$  per onde circulen corrientes ${\displaystyle I_{1}}$  y ${\displaystyle I_{2}}$ , respeutivamente. D'agora en más el subíndice 1 representa magnitúes correspondientes al circuitu 1 y análogamente pal circuitu 2. En virtú de la Llei de Faraday tiense

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}({\vec {x}}_{1})=-{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}}$ 

onde ${\displaystyle {\vec {Y}}({\vec {x}}_{1})}$  ye'l campu llétrico y ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}$  ye'l campu magnéticu nel circuitu 1. Si agora tómase'l fluxu al traviés del área zarrada ${\displaystyle S_{1}}$  pol circuitu 1,

${\displaystyle \int _{S_{1}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {da_{1}}}=-\int _{S_{1}}{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}}$ 

y úsase el Teorema de Stokes na integral del llau esquierdu, llógrase la fem ${\displaystyle \epsilon _{1}}$  pal circuitu 1:

${\displaystyle \oint _{\gamma _{1}}{\vec {Y}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {ds_{1}}}=\epsilon _{1}=-\int _{S_{1}}{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}}$ 

Ye conveniente usar el fechu de que ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})}$ , onde ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})}$  ye'l potencial vectorial, pa reescribir lo anterior como

${\displaystyle \epsilon _{1}=-\int {\vec {\nabla }}\times {\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}}$ 

Nesti puntu tien de faese una simplificación: va suponese que'l circuitu nun camuda nel tiempu, colo cual la derivada parcial puede salir fora de la integral. Esto dexa entós aplicar nuevamente'l Teorema de Stokes. Matemáticamente:

${\displaystyle \epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S_{1}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {da_{1}}}}$ 

${\displaystyle \epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{\gamma _{1}}{\vec {A}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {ds_{1}}}}$ 

Puesto que ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}')}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}d^{3}x'}$  nel gauge ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}$  onde ${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}})}$  ye la densidá de corriente que xenera'l campu magnéticu ${\displaystyle {\vec {B}}}$ . Nesti casu la densidá de corriente correspuende a la del circuitu 2, polo que ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}_{2})}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}d^{3}x_{2}}$ . En casu que la densidá de corriente correspuenda a una curva y non a un volume nel espaciu ye lícitu reescribir el potencial vectorial como ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {I_{2}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\vec {ds_{2}}}}$ . Depués, reemplazando esta última igualdá na espresión anterior llógrase:

${\displaystyle \epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{\gamma _{1}}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {I_{2}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}}$ 

Puesto que se supunxo que los circuitos nun se modificar nel tiempu namái ${\displaystyle I_{2}}$  vese afeutada pola derivada temporal, colo que

${\displaystyle \epsilon _{1}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\frac {\partial I_{2}}{\partial t}}}$ 

L'anterior razonamientu puede repitise pal circuitu 2 dando como resultáu 5....

${\displaystyle \epsilon _{2}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}\oint _{\gamma _{1}}{\frac {{\vec {ds_{1}}}\cdot {\vec {ds_{2}}}}{|{\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}|}}{\frac {\partial I_{1}}{\partial t}}}$ 

Claramente les constantes qu'acompañen a les derivaes temporales en dambos casos son coeficientes que namái dependen de la xeometría de los circuitos y amás son iguales. Depués llámase inductancia mutua, ${\displaystyle M}$  a felicidá constante

${\displaystyle M=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}}$ 

Autoinductancia

Pa calcular la autoinductancia puede procedese col razonamientu anterior. A pesar d'esto surde un problema: el doble integral nun se fai sobre circuitos distintos sinón sobre'l mesmu dando llugar a diverxencia cuando ${\displaystyle {\vec {x}}_{2}={\vec {x}}_{1}}$ . Dichu problema puede ser resueltu si na integral usa la espresión xeneral pa ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}')}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}d^{3}x'}$  pa puntos bien cercanos ente sigo. Esta proximidá ente puntos dexa faer aproximamientu coles cualos puede resolvese la integral.

Sicasí esisten casos onde la autoinductancia calcúlase trivialmente como por casu el solenoide ideal: si ${\displaystyle \phi _{M}}$  ye'l fluxu magnético, por Llei de Faraday tiense

${\displaystyle \epsilon _{1}=-{\frac {d\phi _{M}}{dt}}}$ 

Puesto que el campu magnéticu nel solenoide ye constante, ye posible calculalo como ${\displaystyle |{\vec {B}}|={\frac {\mu _{0}NIN}{l}}}$ , con ${\displaystyle N}$  el númberu de vueltes, ${\displaystyle l}$  la llongura del solenoide y ${\displaystyle I}$  la corriente que pasa'l mesmu, tiense

${\displaystyle \epsilon _{1}=-NA{\frac {dB}{dt}}=-{\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}{\frac {di}{dt}}}$ 

onde ${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}}$  ye la autoinductancia. El valor de la inductancia vien determináu puramente poles carauterístiques xeométriques de la bobina y pola permeabilidá magnética del espaciu onde s'atopa. Si'l solenoide tien un nucleu de permeabilidá distinta de vacíu, la inductancia (en Henrios), acordies coles ecuaciones de Maxwell, vien determinada por:

${\displaystyle L={\frac {\mu N^{2}A}{l}}}$ 

onde ${\displaystyle \mu }$  ye la permeabilidá absoluta del nucleu (el productu ente la permeabilidá del aire y la permeabilidá relativa del material) ${\displaystyle N}$  ye'l númberu de espiras, ${\displaystyle A}$  ye l'área de la seición tresversal del bobinado (en metros cuadraos) y ${\displaystyle l}$  el llargor de les bobina (en metros).

El cálculu de ${\displaystyle l}$  ye bastante complicáu sacantes que la bobina seya toroidal y aun así, resulta mal si'l nucleu presenta distintes permeabilidaes en función de la intensidá que circule pola mesma. Nesti casu, la determinación de ${\displaystyle l}$  realizar a partir de les curves de imanación.

Cuando parte del fluxu magnético d'una bobina algama a otra, dizse que dambes bobines tán acoplaes magnéticamente. Esti acoplamientu de cutiu ye non deseyáu, pero n'ocasiones ye aprovecháu, como asocede por casu nos tresformadores. En bobines acoplaes, esisten dos tipos de inductancia: la debida al fluxu d'una bobina sobre otra, denomada inductancia mutua, y la debida al propiu fluxu, denomada autoinductancia. Asina, nel casu de dos bobines tendríase:

${\displaystyle L_{11}}$  - autoinductancia de la bobina 1
${\displaystyle L_{22}}$  - autoinductancia de la bobina 2
${\displaystyle L_{12}=L_{21}}$  - inductancias mutues

Pa estremar la autoinductancia de la inductancia mutua, suélense designar con ${\displaystyle L}$  y ${\displaystyle M}$  respeutivamente.

La inductancia mutua ye aquella qu'abarca los fluxos magnéticos compartíos, ye dicir ${\displaystyle M=L_{12}+L_{21}}$ , n'otres pallabres ye la suma de les inductancias que lleguen a concatenarse.

El coeficiente d'acoplamientu magnéticu ${\displaystyle K}$  representa la capacidá de concatenación de los fluxos magnéticos, nel casu de dos bobines tendríase:

${\displaystyle K={M \over {\sqrt {L_{11}\cdot L_{22}}}}}$