قوانين كبلر للحركة الكوكبية

 

«مدار كل كوكب عبارة عن قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه.»

يمثل القطع الناقص نموذجاً معيناً من الأشكال الهندسية التي تنتج عن دائرة مطالة، كما في الشكل، يلاحظ أن الشمس وإن كانت لا تقع في المركز فهي واقعة على أحد البؤرتين، البؤرة الأخرى تم رسمها بنقطة خفيفة ولا تأثير فيزيائي لها في حقيقة الأمر.

إن مقدار إطالة ذلك القطع الناقص أو الإهليج مقارنة بالدائرة المثالية يعرف بشذوذه; وهو معامل يتغير من 0 في حالة الدائرة إلى 1 في حالة تم شدّ الدائرة من طرفين إلى أن أصبحت خطاً مستقيماً.

كان كبلر قد عرف أن مقدار الشذوذ في الزهرة 0.007 وعطارد 0.2.

 

بالرموز، يمكن تمثيل القطع الناقص في الإحداثيات القطبية بالصورة:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$ 

حيث (r, θ) هي الإحداثي القطبي (من البؤرة) للقطع الناقص، p نصف الجانب المستقيم، وε التخالف المركزي للقطع الناقص.

بالنسبة لكوكب يدور حول الشمس، تعتبر r هي المسافة من الشمس إلى الكوكب وθ هي الزاوية ورأسها عند الشمس نسبة للموقع الأقرب من الكوكب إلى الشمس.

عند θ = 0°، الحضيض، تكون المسافة في أدنى قيمة لها.

${\displaystyle r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$ 

عند θ == 90° وعند θ == 270° تكون المسافة ${\displaystyle \,p.}$ 

عند θ = 180°، القبا، تكون المسافة أبعد مايمكن.

${\displaystyle r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$ 

نصف المحور الأكبر a هو المتوسط الحسابي بين r_min وr_max:

${\displaystyle \,r_{\max }-a=a-r_{\min }}$ 
وبالتالي
${\displaystyle a={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.}$ 

نصف المحور الأصغر b والمتوسط الهندسي بين r_min وr_max:

${\displaystyle {\frac {r_{\max }}{b}}={\frac {b}{r_{\min }}}}$ 
وبالتالي
${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.}$ 

نصف الجانب المستقيم p هو المتوسط التوافقي بين r_min وr_max:

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}.}$ 

الاختلاف المركزي ε هي معامل التباين بين r_min وr_max:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}.}$ 

مساحة القطع الناقص هي

${\displaystyle A=\pi ab\,.}$ 

الحالة الخاصة للدائرة ε == 0, ينتج عنها r = p = r_min = r_max = a = b وA == π r².

 

«الخط الواصل بين كوكب والشمس يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية.»

لفهم القانون الثاني، يمكننا تخيل كوكب يستغرق يوماً للانتقال من نقطة معينة إلى نقطة أخرى وليكن من A إلى نقطة B، الخطوط من الشمس إلى النقاط A وB، تشكل مع مدار الكوكب مساحة مثلثية. نفس المساحة سيتم تغطيتها كل يوم بغض النظر عن موقع الكوكب على المسار الإهليلجي، لما كان القانون الأول ينص على أن الكوكب يتبع مسار قطع ناقص، فمن المنطقي أن يكون الكوكب على مسافات مختلفة من الشمس عند مناطق مختلفة في ذلك المدار، لذلك يلزم على الكوكب أن يتحرك على نحو أسرع كلما اقترب من الشمس حتى يقطع نفس المساحة التي قطعها في المناطق الأخرى الأبعد عن الشمس بشكل متساوي.

قانون كبلر الثاني يكافئ الحقيقة القائلة بأن القوة العمودية على نصف القطر هي صفر. تتناسب السرعة المساحية مع كمية التحرك الزاوي، ولنفس السبب يمكن اعتبار قانون كبلر الثاني أيضاً نصاً غير مباشر لمبدأ حفظ الزخم الزاوي. رياضياتياً:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0,}$ 

حيث ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}}$  هي «السرعة المساحية».

يعرف هذا القانون أيضاً بقانون المساحات المتساوية. كما يمكن تطبيقه على مقذوفات القطع المكافئ والقطع الزائد.

مربع الفترة المدارية لكوكب يتناسب مع مكعب نصف المحور الرئيسي لمداره.".

بصورة رياضية:

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$ 

حيث T هو الفترة المدارية وa هو نصف المحور الرئيسي من هنا التعبير ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{a^{3}}}}$  متساوية لكل كوكب يدور في المجموعة الشمسية حيث يقاس T بالسنوات الارضية وa بالوحدات الفلكية، قيمة هذا التعبير هي 1 لكل كوكب يدور في المجموعة الشمسية.

في حركة دائرية التسارع الزاوي (باتجاه المركز) متناسبة مع ${\displaystyle \ r\cdot \mathrm {T} ^{-2}}$  حيث r هونصف القطر إذا طبقنا القانون الثالث على الحركة الدائرية وهي حالة خاصة من الحركة الاهليجية من الممكن ان نستخلص ان تسارع الجسم يتناسب مع ${\displaystyle \ r\cdot r^{-3}=r^{-2}}$ ، ما يعزز قانون نيوتن للجاذبية، الذي حسبه قوة الجذب بين كل جسمين مساوية لـ ${\displaystyle \ {\frac {GMm}{r^{2}}}}$ 

المعادلة العامة المتعلقة بالنسبة المعطاة والتي لم يكن كبلر يعرفها: ${\displaystyle \ T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}}$ .

عندما نتكلم عن جسمين اثنين وكتلة احدهما لا يمكن تجاهلها امام كتلة الثاني يجب ان ناخذ بعين الاعتبار حركة الاجسام حول مركز الثقل، وليس احدهما حول الآخر كما في انظمة مثل النظام الشمسي. في هذا الوضع (كما في انظمة ثنائية النجوم)، المعادلة الكاملة هي:

${\displaystyle \left({\frac {T}{2\pi }}\right)^{2}={a^{3} \over G(M+m)}}$