In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Homotopie von Wegeneine Äquivalenzrelationauf der Menge der stetigen Wegevon nach ist.
Es sei eintopologischer Raum.Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen
durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf denHomotopieklassen von Wegenführt.
Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotopzu ist.
Es sei eintopologischer Raumund.Es sei
einstetiger Wegvon nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also. Zeige, dass die Verknüpfung homotopzum konstanten Weg ist.
Es sei ein topologischer Raumund seienPunkte. Es seien und homotope Wegevon nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.
Es sei eintopologischer Raumund . Zeige, dass die Verknüpfungvon Homotopieklassengeschlossener Wegemit Aufpunkt assoziativist.
Es sei eintopologischer Raumund
ein stetiger geschlossener Weg.Zeige, dass genau dannnullhomotopist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibegibt.
Zeige, dass der kontrahierbarist.
Es sei einwegzusammenhängendertopologischer Raumund seienPunkte. Zeige, dass dieFundamentalgruppenund und zueinanderisomorphsind.
Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit . Zeige, dass die Zuordnung
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge derHomotopieklassengeschlossener Wege(mit Aufpunkt bzw. )induziert.
Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit.Zeige, dass die Zuordnung
zu einem Gruppenhomomorphismus
führt.
Zeige, dass bei der einfach zusammenhängendist.
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dannkommutativist, wenn dieKommutatoruntergruppe trivial ist.
Zu einerGruppe heißt dieRestklassengruppe, wobei dieKommutatorgruppevon bezeichnet, dieAbelianisierung von .
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