Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 8



Aufgaben

Aufgabe

Es seienvollständige Gitter.Zeige, dass es eine-lineare Abbildung

gibt, die einenGruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seien rationalevollständige Gitter.Zeige, dass es eine-lineare Abbildung

gibt, die einenGruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seienrationalevollständige Gitter.Zeige, dass es ein rationales Gitter mitgibt.


Aufgabe

Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

Welche Springmäuse können sich begegnen?


Aufgabe

Es seieinGitterin mitund

Zeige, dass das Standardgitter ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe

dichtist.


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

isomorphzu ist.


Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppeeines Gitters.


Aufgabe

Betrachte dieKreislinie. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , einedifferenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppewird.


Aufgabe

Zeige, dass dieGruppen, , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. topologische Gruppensind.


Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zugleich eineGruppeist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfungdifferenzierbare Abbildungensind, heißt(reelle)Lie-Gruppe.


Aufgabe

Zeige, dass dieGruppen, , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. Lie-Gruppensind.


Aufgabe

Zeige, dass dasTangentialbündelauf einerLie-Gruppetrivialist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Betrachte dieallgemeine lineare Gruppeals offene Untermannigfaltigkeitdes . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , einedifferenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer Gruppewird.


Aufgabe

Zeige, dass dasTangentialbündelauf einerLie-Gruppetrivialist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.


Aufgabe

Beschreibe den Torus als Rotationsmengeim .


Aufgabe

Es sei und betrachte die Abbildung

Bestimme dieregulären Punkteder Abbildung und die Gestalt der Faser über . Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von zu .


Aufgabe

Definiere die Abbildung

die zu einem Winkelpaar die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildungdifferenzierbar?Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?


Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre und der Torus nicht homöomorphsind.


Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeitist , also der Torus ohne die Diagonale,diffeomorph?


Aufgabe *

Es sei ein Torus.Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punktsurjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass es auf einemTorusbijektivestetig differenzierbare Abbildungen ohneFixpunktgibt.


Aufgabe

Es sei ein Torus.Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der Fundamentalgruppevon im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer Homöomorphieist.


Aufgabe *

Es seien und endlichdimensionalereelle Vektorräumeund seieinstetigerGruppenhomomorphismus.Zeige, dass dann eine-lineare Abbildungist.



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