Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 8
- Aufgaben
Aufgabe
Es seienvollständige Gitter.Zeige, dass es eine-lineare Abbildung
gibt, die einenGruppenisomorphismus
induziert.
Aufgabe
Es seien rationalevollständige Gitter.Zeige, dass es eine-lineare Abbildung
gibt, die einenGruppenisomorphismus
induziert.
Aufgabe
Es seienrationalevollständige Gitter.Zeige, dass es ein rationales Gitter mitgibt.
Aufgabe
Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
Welche Springmäuse können sich begegnen?
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Charakterisiere die Restklassengruppeeines Gitters.
Aufgabe
Betrachte dieKreislinie. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , einedifferenzierbare Abbildung
und eine differenzierbare Abbildung
derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppewird.
Aufgabe
Zeige, dass dieGruppen, , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. topologische Gruppensind.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zugleich eineGruppeist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfungdifferenzierbare Abbildungensind, heißt(reelle)Lie-Gruppe.
Aufgabe
Zeige, dass dieGruppen, , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. Lie-Gruppensind.
Aufgabe
Zeige, dass dasTangentialbündelauf einerLie-Gruppetrivialist.
Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.
Aufgabe
Betrachte dieallgemeine lineare Gruppeals offene Untermannigfaltigkeitdes . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , einedifferenzierbare Abbildung
und eine differenzierbare Abbildung
derart, dass mit diesen Daten zu einer Gruppewird.
Aufgabe
Zeige, dass dasTangentialbündelauf einerLie-Gruppetrivialist.
Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.
Aufgabe
Beschreibe den Torus als Rotationsmengeim .
Aufgabe
Es sei und betrachte die Abbildung
Bestimme dieregulären Punkteder Abbildung und die Gestalt der Faser über . Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von zu .
Aufgabe
Definiere die Abbildung
die zu einem Winkelpaar die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildungdifferenzierbar?Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?
Aufgabe
Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre und der Torus nicht homöomorphsind.
Aufgabe
Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeitist , also der Torus ohne die Diagonale,diffeomorph?
Aufgabe *
Es sei ein Torus.Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung
derart an, dass auch die Tangentialabbildung
in jedem Punktsurjektiv ist.
Aufgabe
Zeige, dass es auf einemTorusbijektivestetig differenzierbare Abbildungen ohneFixpunktgibt.
Aufgabe
Es sei ein Torus.Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der Fundamentalgruppevon im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer Homöomorphieist.
Aufgabe *
Es seien und endlichdimensionalereelle Vektorräumeund seieinstetigerGruppenhomomorphismus.Zeige, dass dann eine-lineare Abbildungist.
<< | Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022) | >> |
---|