Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 7

Homotope Wege

Zwei Wege

${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X}$

heißen homotop, wenn es eine solche Homotopie zwischen ihnen gibt. Man schreibt${\displaystyle {}\gamma _{0}\sim \gamma _{1}}$für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von${\displaystyle {}x}$ nach ${\displaystyle {}y}$,die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.

Zwei stetige Wege, für die der Endpunkt des ersten Weges mit dem Anfangspunkt des zweiten Weges übereinstimmt, kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den ersten Weg und anschließend den zweiten Weg durchläuft. Man spricht von der Hintereinanderlegung von Wegen und schreibt einfach ${\displaystyle {}\gamma \delta }$, wobei ${\displaystyle {}\gamma }$ zuerst durchlaufen wird. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall ${\displaystyle {}[0,2]}$. Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Unter dem Rückweg zu ${\displaystyle {}\gamma }$ versteht man den entgegengesetzt durchlaufenen Weg, man bezeichnet ihn mit ${\displaystyle {}\gamma ^{-1}}$.

Lemma  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raumund seien${\displaystyle {}x,y,z\in X}$Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. DieHomotopiezwischen stetigen Wegenvon ${\displaystyle {}[0,1]}$ nach ${\displaystyle {}X}$ mit ${\displaystyle {}x}$ als Anfangspunkt und ${\displaystyle {}y}$ als Endpunkt ist eineÄquivalenzrelation.
2. Wenn ${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}}$ zueinander homotop sind, so sind auch die Rückwege ${\displaystyle {}\gamma _{1}^{-1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}^{-1}}$ zueinander homotop.
3. Wenn ${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}}$ homotope Wege von ${\displaystyle {}x}$ nach ${\displaystyle {}y}$ und ${\displaystyle {}\delta _{1}}$ und ${\displaystyle {}\delta _{2}}$ homotope Wege von ${\displaystyle {}y}$ nach ${\displaystyle {}z}$ sind, so sind auch die Verknüpfungen ${\displaystyle {}\gamma _{1}\delta _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}\delta _{2}}$ homotop.
4. Die Hintereinanderlegung ${\displaystyle {}\gamma \gamma ^{-1}}$ ist zum konstanten Weg homotop.

Beweis  

SieheAufgabe 7.2,Aufgabe 7.6,Aufgabe 7.3undAufgabe 7.5.

${\displaystyle \Box }$

Die Fundamentalgruppe

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum,den wir alswegzusammenhängendvoraussetzen wollen, zu je zwei Punkten${\displaystyle {}x,y\in X}$gibt es also einenstetigen Weg

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow X}$

mit${\displaystyle {}\gamma (0)=x}$ und ${\displaystyle {}\gamma (1)=y}$.Ein Weg ${\displaystyle {}\gamma }$ heißt geschlossen, wenn${\displaystyle {}\gamma (0)=\gamma (1)}$ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in ${\displaystyle {}X}$ als stetige Abbildungen${\displaystyle {}\gamma \colon S^{1}\rightarrow X}$.

Zu geschlossenen homotopen Wegen${\displaystyle {}\gamma _{0}\sim \delta _{0}}$und${\displaystyle {}\gamma _{1}\sim \delta _{1}}$sind auch die Verknüpfungen${\displaystyle {}\gamma =\gamma _{0}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\delta =\delta _{0}\delta _{1}}$zueinander homotop. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt ${\displaystyle {}x}$, die die Fundamentalgruppe heißt.

Diese Menge ist mit dem konstanten Weg(also der Homotopieklasse des konstanten Weges)als neutralem Element in der Tat eine Gruppe. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die entstehenden Wege sind aber homotop, so dass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop.

Der einfache Zusammenhang bedeutet, dass${\displaystyle {}\pi _{1}(X,x)=0}$ist(für einen beliebigen Aufpunkt${\displaystyle {}x\in X}$).

Beispielsweise ist der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

Lemma

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einwegzusammenhängendertopologischer Raumund seien${\displaystyle {}x,y\in X}$Punkte.

Dann sind dieFundamentalgruppenund${\displaystyle {}\pi _{1}(X,x)}$ und ${\displaystyle {}\pi _{1}(X,y)}$zueinanderisomorph.

Beweis

SieheAufgabe 7.10.

${\displaystyle \Box }$

Man beachte, dass hierbei der Isomorphismus nicht kanonisch gegeben ist, sondern von der Wahl eines Verbindungsweges von ${\displaystyle {}x}$ nach ${\displaystyle {}y}$ abhängt. Die Aussage ist der Grund, dass man häufig einfach ${\displaystyle {}\pi _{1}(X)}$ ohne einen expliziten Aufpunkt schreibt.

Zu einer stetigen Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

und einem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$mit${\displaystyle {}y=\varphi (x)}$induziert ein stetiger geschlossener Weg${\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X}$mit Aufpunkt ${\displaystyle {}x}$ einen stetigen geschlossenen Weg ${\displaystyle {}\varphi \circ \gamma }$ in ${\displaystyle {}Y}$ mit Aufpunkt ${\displaystyle {}y}$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn${\displaystyle {}\gamma \sim \delta }$zwei homotope Wege in ${\displaystyle {}X}$ mit Aufpunkt ${\displaystyle {}x}$ sind, so sind auch ${\displaystyle {}\varphi \circ \gamma }$ und ${\displaystyle {}\varphi \circ \delta }$ homotop. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).}$

Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.

Überlagerungen und Fundamentalgruppe

Die Berechnung der Fundamentalgruppe ist im Allgemeinen schwierig. Ein wichtiges Hilfsmittel sind Überlagerungen. Zu einer Überlagerung

${\displaystyle Y\longrightarrow X}$

und einem vorgegebenen Punkt ${\displaystyle {}y\in Y}$über${\displaystyle {}\gamma (0)\in X}$ gibt es nachSatz 6.11eine eindeutige Liftung ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}}$ mit

${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}(0)=y\,.}$

Wir erwähnen ohne Beweis einige Sätze, wie die Fundamentalgruppe mit Decktransformationen zusammenhängen.

Der Isomorphismus funktioniert dabei folgendermaßen. Man fixiert einen Aufpunkt${\displaystyle {}x\in X}$und darüber einen Punkt${\displaystyle {}y\in Y}$.Einer Decktransformation${\displaystyle {}\varphi \colon Y\rightarrow Y}$wird die Homotopieklasse${\displaystyle {}[\varphi \circ \gamma ]\in \pi _{1}(X,x)}$ zugeordnet, wobei ${\displaystyle {}\gamma }$ ein verbindender Weg in ${\displaystyle {}Y}$ von ${\displaystyle {}y}$ nach ${\displaystyle {}\varphi (y)}$ ist. Aus dieser Aussage folgt beispielsweise, dass die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist.

Die erste Homologiegruppe

Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Man kann aber jeder nichtkommutativen Gruppe eine kommutative Gruppe zuordnen, indem man die Restklassengruppemodulo derKommutatoruntergruppebildet, siehe die Aufgaben. Im Fall der Fundamentalgruppe nennt man

${\displaystyle {}H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,}$

die erste Homologiegruppe von ${\displaystyle {}X}$. Diese kann man aber auch anders und auch mit anderen Koeffizientengruppen, etwa mit ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ statt mit ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, konstruieren. Eine duale Version werden wir im Kontext von Garben und Kohomologietheorien einführen.