Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 6

Es sei zunächst${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eine beliebige Überlagerung und${\displaystyle {}U_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,eine Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für${\displaystyle {}x,y\in U_{i}}$ ist

${\displaystyle {}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.}$

Es sei nun ${\displaystyle {}X}$ zusammenhängend,${\displaystyle {}x\in X}$fixiert und

${\displaystyle {}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.}$

Dann ist ${\displaystyle {}T}$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${\displaystyle {}p}$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${\displaystyle {}X\setminus T}$ offen. Da ${\displaystyle {}X}$ zusammenhängend ist, gilt${\displaystyle {}T=X}$.

Sei${\displaystyle {}y\in Y}$.Zu ${\displaystyle {}x=p(y)\in X}$gibt es eineoffene Umgebung${\displaystyle {}x\in U}$derart, dass ${\displaystyle {}p^{-1}(U)}$ die disjunkte Vereinigung von zu ${\displaystyle {}U}$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss ${\displaystyle {}y}$ liegen.

Dies folgt ausLemma 6.6undLemma 6.7.

NachAufgabe 6.7ist mit ${\displaystyle {}X}$ auch ${\displaystyle {}Y}$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge ${\displaystyle {}V\subseteq Y}$,die homöomorph auf ${\displaystyle {}p(V)}$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf ${\displaystyle {}V}$ die von ${\displaystyle {}p(V)}$ zurückgezogene holomorphe Struktur sein. Dies ergibt sich ausSatz 2.3,da eine holomorphe bijektive Abbildung bereits biholomorph ist. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf ${\displaystyle {}Y}$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir ${\displaystyle {}X}$ mit offenen Mengen ${\displaystyle {}U_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,über denen ${\displaystyle {}p}$ trivialisiert und wobei die ${\displaystyle {}U_{i}}$ zusammenhängendeKartengebiete mit Karten

${\displaystyle \alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow U_{i}'\subseteq {\mathbb {C} }}$

sind. Es sei${\displaystyle {}V_{ij_{i}}}$, ${\displaystyle {}j_{i}\in J_{i}}$,die disjunkte Zerlegung von ${\displaystyle {}p^{-1}(U_{i})}$. Wir definieren Karten auf ${\displaystyle {}V_{i,j_{i}}}$ durch

${\displaystyle \beta _{i,j_{i}}:=\alpha _{i}\circ p_{j_{i}}\colon V_{i,j_{i}}\longrightarrow U_{i}'.}$

Seien${\displaystyle {}V_{i,j_{i}}}$ und ${\displaystyle {}V_{k,\ell _{k}}}$zwei solche Mengen. Dann ist

${\displaystyle {}p{\left(V_{i,j_{i}}\cap V_{k,\ell _{k}}\right)}=U_{i}\cap U_{k}\,}$

und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf ${\displaystyle {}X}$.

Zu jedem Punkt${\displaystyle {}x\in \gamma (I)}$gibt es eine offene Umgebung${\displaystyle {}x\in U_{x}}$derart, dass ${\displaystyle {}p}$ oberhalb von ${\displaystyle {}U_{x}}$ trivialisiert, d.h. ${\displaystyle {}p^{-1}(U_{x})}$ ist die disjunkte Vereinigung von zu ${\displaystyle {}U_{x}}$ über ${\displaystyle {}p}$ homöomorphenoffenen Teilmengen von ${\displaystyle {}Y}$. Aufgrund der Kompaktheitvon ${\displaystyle {}\gamma (I)}$ gibt es somit endlich viele offene Mengen ${\displaystyle {}U_{1},\ldots ,U_{n}}$ mit dieser Eigenschaft und mit${\displaystyle {}\gamma (0)\in U_{1}}$,mit${\displaystyle {}U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset }$für alle ${\displaystyle {}i}$(da ${\displaystyle {}\gamma (I)}$zusammenhängendist)und mit${\displaystyle {}\gamma (1)\in U_{n}}$.Es sei${\displaystyle {}x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}}$mit aufsteigenden Zeitpunkten ${\displaystyle {}t_{i}}$. Es sei ${\displaystyle {}V_{1}}$ diejenige zu ${\displaystyle {}U_{1}}$ homöomorphe Teilmenge von ${\displaystyle {}Y}$, die ${\displaystyle {}z}$ enthält. Dann gibt es für den auf ${\displaystyle {}[0,t_{1}]}$ eingeschränkten Weg nur die Liftung ${\displaystyle {}p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}}$. Dieser Weg hat für ${\displaystyle {}t_{1}}$ einen eindeutigen Endpunkt in ${\displaystyle {}Y}$, sagen wir

${\displaystyle {}z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.}$

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge${\displaystyle {}V_{2}\subseteq Y}$homöomorph zu ${\displaystyle {}U_{2}}$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}}$ nach ${\displaystyle {}[t_{1},t_{2}]}$. So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

Es sei ${\displaystyle {}\varphi }$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge ${\displaystyle {}{\left\{y\in Y\mid \varphi (y)=y\right\}}}$, die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen ${\displaystyle {}Y}$ hausdorffschist die Fixpunktmenge nachAufgabe 6.20abgeschlossen. Es sei${\displaystyle {}y\in Y}$ein Fixpunkt mit

${\displaystyle {}p(y)=x\,.}$

Es sei${\displaystyle {}x\in U}$eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}U}$ wegzusammenhängend ist. Es sei ${\displaystyle {}y\in V}$ die entsprechende offene Umgebung von ${\displaystyle {}y}$. Dann ist ${\displaystyle {}V}$ und somit auch ${\displaystyle {}\varphi (V)}$ zusammenhängend und wegen${\displaystyle {}\varphi (y)=y\in V}$ist bereits${\displaystyle {}\varphi (V)\subseteq V}$.Somit gilt für${\displaystyle {}y'\in V}$die Bedingung${\displaystyle {}\varphi (y')\in V\cap p^{-1}(p(y'))=\{y'\}}$,also ist ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}V}$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von ${\displaystyle {}Y}$ ist sie dann gleich ganz ${\displaystyle {}Y}$.

Von (1) nach (2). Es sei${\displaystyle {}T\subseteq X}$kompaktmit dem Urbild${\displaystyle {}S:=p^{-1}(T)}$.Es sei

${\displaystyle {}S\subseteq \bigcup _{i\in I}W_{i}\,}$

eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt${\displaystyle {}y\in S}$ gibt es ein ${\displaystyle {}j(y)}$ mit${\displaystyle {}y\in W_{j(y)}}$.Es sei${\displaystyle {}y=y_{1}\in S}$und seien ${\displaystyle {}y_{2},\ldots ,y_{n}}$ die weiteren Punkte, die auf${\displaystyle {}x=p(y)}$ abbilden. Zu den offenen Umgebungen ${\displaystyle {}y_{k}\in W_{j(y_{k})}}$gibt es eine offene Umgebung${\displaystyle {}x\in U_{x}\subseteq X}$,über der ${\displaystyle {}p}$ trivialisiert und mit${\displaystyle {}y_{k}\in V_{k}\subseteq p^{-1}(U_{x})\cap W_{j(y_{k})}}$,wobei ${\displaystyle {}V_{k}}$ das Blatt zu ${\displaystyle {}y_{k}}$ bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die ${\displaystyle {}U_{x}}$ bilden dann eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}T}$ und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung ${\displaystyle {}U_{1},\ldots ,U_{m}}$. Die zugehörigen Blätter ${\displaystyle {}V_{jk}}$ bilden dann eine endliche Überdeckung von ${\displaystyle {}S}$

Von (2) nach (3) ist klar.

Von (3) nach (1). Sei${\displaystyle {}x\in X}$ein Punkt und seien ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ die Urbildpunkte von ${\displaystyle {}x}$. Zu jeden ${\displaystyle {}y_{j}}$ gibt es eine offene Umgebung ${\displaystyle {}V_{j}}$, die homöomorph auf ${\displaystyle {}U_{j}}$ abbildet. Man betrachtet die offene Menge

${\displaystyle {}U:=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,}$

und ersetzt die ${\displaystyle {}V_{j}}$ durch ${\displaystyle {}V_{j}\cap p^{-1}(U)}$. Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass ${\displaystyle {}U}$ und damit auch die ${\displaystyle {}V_{j}}$ wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}\biguplus _{j\in J}V_{j}}$ das Urbild von ${\displaystyle {}U}$ ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt ${\displaystyle {}y}$ mit${\displaystyle {}p(y)\in U}$,der auf keinem ${\displaystyle {}V_{j}}$ liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow U}$

von ${\displaystyle {}p(y)}$ nach ${\displaystyle {}x}$. Das Urbild von ${\displaystyle {}\gamma ([0,1])}$ ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von ${\displaystyle {}V_{j}}$. Zu ${\displaystyle {}y}$ gibt es eine offene Umgebung ${\displaystyle {}V}$, die homöomorph nach ${\displaystyle {}X}$ abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch ${\displaystyle {}y}$. Es sei ${\displaystyle {}s}$ das Supremum der reellen Zahlen ${\displaystyle {}t}$, für die eine stetige Liftung${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}}$ mit${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}(0)=y}$ definiert ist. WegenAufgabe 6.15ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf ${\displaystyle {}[0,s[}$ definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für ${\displaystyle {}s}$ definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei${\displaystyle {}s<1}$eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}(s)}$, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von ${\displaystyle {}X}$ abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist${\displaystyle {}s=1}$und somit endet die Liftung in einem der Punkte über ${\displaystyle {}x}$, sagen wir in ${\displaystyle {}y_{1}}$. Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von ${\displaystyle {}V_{1}}$ übereinstimmen und damit ist selbst${\displaystyle {}y\in V_{1}}$.