Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 8

NachAufgabe 8.1können wir davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}\Gamma }$ das Standardgitter${\displaystyle {}\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}}$ ist. Für dieses gilt

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.}$

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$die(reellen)Übergangsmatrizenzwischen den beiden Basen, dabei gilt

${\displaystyle {}M\circ N=E_{n}\,}$

und

${\displaystyle {}\det M\cdot \det N=1\,}$

nachdem Determinantenmultiplikationsatz.Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus${\displaystyle {}v_{j}\in \Delta }$,dass in

${\displaystyle {}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,}$

die Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{ij}}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$sein müssen, da dies die einzigen Einheitenin ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,}$

und damit Gleichheit.

Dies ist ein Spezialfall vonLemma 8.3.

Zu jedem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }/\Gamma }$und einem Urbildpunkt${\displaystyle {}Q\in {\mathbb {C} }}$gibt es eine offene Ballumgebung${\displaystyle {}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}}$,auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus

${\displaystyle \pi \colon U{\left(Q,\epsilon \right)}\longrightarrow V}$

mit einer offenen Umgebung ${\displaystyle {}V}$ von ${\displaystyle {}P}$ induziert. Man wähle einfach ${\displaystyle {}\epsilon }$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die ${\displaystyle {}U{\left(Q,\epsilon \right)}}$ zu verschiedenen Urbildpunkten von ${\displaystyle {}P}$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung${\displaystyle {}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma }$eineÜberlagerungmit der Faser ${\displaystyle {}\Gamma }$. Man erhält auf ${\displaystyle {}V}$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem ${\displaystyle {}U{\left(Q,\epsilon \right)}}$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$(zu Punkten${\displaystyle {}P_{1},P_{2}\in {\mathbb {C} }/\Gamma }$)seien${\displaystyle {}B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }}$offene Bälle derart, dass die Einschränkungen${\displaystyle {}\pi _{1}\colon B_{1}\rightarrow V_{1}}$und${\displaystyle {}\pi _{2}\colon B_{2}\rightarrow V_{2}}$Homöomorphismen sind. Es sei${\displaystyle {}W=V_{1}\cap V_{2}}$und sei${\displaystyle {}U_{1}\subseteq B_{1}}$das Urbild von ${\displaystyle {}W}$ unter ${\displaystyle {}\pi _{1}}$ und${\displaystyle {}U_{2}\subseteq B_{2}}$das Urbild von ${\displaystyle {}W}$ unter ${\displaystyle {}\pi _{2}}$. Da das Urbild von ${\displaystyle {}W}$ unter ${\displaystyle {}\pi }$ die disjunkte Vereinigung von zu ${\displaystyle {}W}$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus ${\displaystyle {}\Gamma }$ ineinander übergehen, ist

${\displaystyle {}U_{1}=v+U_{2}\,}$

mit einem${\displaystyle {}v\in \Gamma }$.Die Abbildung

${\displaystyle U_{1}\longrightarrow U_{2},\,z\longmapsto v+z,}$

beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.

Die Kompaktheit folgt ausSatz 8.2oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.

Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.

Da${\displaystyle {}\Gamma \subset {\mathbb {C} }}$eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ eine kommutative Gruppe. NachSatz 8.6ist ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ und das Negativeholomorphe Abbildungensind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \times \pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma \times {\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}}$

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon inSatz 8.6mitbewiesen. Da${\displaystyle {}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}}$einfach zusammenhängendist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.

Dies folgt ausSatz 8.11undSatz 7.9.

Unter dem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}}$

wird insbesondere auch das Untergitter${\displaystyle {}\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }}$auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet, d.h. ${\displaystyle {}\Gamma _{1}}$ gehört zum Kern von ${\displaystyle {}\pi _{2}}$. Somit gibt es nachdem Homomorphiesatzeinen induzierten Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.}$

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu ${\displaystyle {}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}}$. Dies ist eine endliche Gruppe.

Es liegt das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

wobei${\displaystyle {}\pi _{1}}$ und ${\displaystyle {}\pi _{2}}$nachSatz 8.6Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung${\displaystyle {}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}}$,für die es in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ die disjunkten und zu ${\displaystyle {}U}$ homöomorphen offenen Umgebungen${\displaystyle {}g+{\tilde {U}}}$, ${\displaystyle {}g\in \Gamma _{2}}$,gibt, ist das Urbild ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(U)}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen${\displaystyle {}\pi _{1}(g+{\tilde {U}})}$, ${\displaystyle {}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}}$,wobei

${\displaystyle \pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U}$

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element${\displaystyle {}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}}$definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,}$

derart, dass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutiert. Dabei definiert ${\displaystyle {}g}$ genau dann die Identität auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}}$, wenn ${\displaystyle {}g\in \Gamma _{1}}$ist, also wenn${\displaystyle {}[g]=[0]}$in ${\displaystyle {}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}}$ ist. Die Addition in ${\displaystyle {}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Dies folgt ausLemma 8.13und ausLemma 8.14,da die holomorphen Strukturen auf${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}}$beide von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ geerbt sind(sieheSatz 8.6).