Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7
Aufgabe
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Homotopie von Wegeneine Äquivalenzrelationauf der Menge der stetigen Wegevon nach ist.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raum.Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen
durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf denHomotopieklassen von Wegenführt.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotopzu ist.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund.Es sei
einstetiger Wegvon nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also. Zeige, dass die Verknüpfung homotopzum konstanten Weg ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raumund seienPunkte. Es seien und homotope Wegevon nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund . Zeige, dass die Verknüpfungvon Homotopieklassengeschlossener Wegemit Aufpunkt assoziativist.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund
ein stetiger geschlossener Weg.Zeige, dass genau dannnullhomotopist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibegibt.
Aufgabe
Zeige, dass der kontrahierbarist.
Aufgabe
Es sei einwegzusammenhängendertopologischer Raumund seienPunkte. Zeige, dass dieFundamentalgruppenund und zueinanderisomorphsind.
Aufgabe
Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit . Zeige, dass die Zuordnung
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge derHomotopieklassengeschlossener Wege(mit Aufpunkt bzw. )induziert.
Aufgabe
Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit.Zeige, dass die Zuordnung
zu einem Gruppenhomomorphismus
führt.
Aufgabe
Zeige, dass bei der einfach zusammenhängendist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dannkommutativist, wenn dieKommutatoruntergruppe trivial ist.
Aufgabe
Zu einerGruppe heißt dieRestklassengruppe, wobei dieKommutatorgruppevon bezeichnet, dieAbelianisierung von .
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