Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7

Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Homotopie von Wegeneine Äquivalenzrelationauf der Menge der stetigen Wegevon nach ist.


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raum.Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf denHomotopieklassen von Wegenführt.


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raumund. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotopzu ist.


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raumund.Es sei

einstetiger Wegvon nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also. Zeige, dass die Verknüpfung homotopzum konstanten Weg ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raumund seienPunkte. Es seien und homotope Wegevon nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raumund . Zeige, dass die Verknüpfungvon Homotopieklassengeschlossener Wegemit Aufpunkt assoziativist.


Aufgabe

Es sei eintopologischer Raumund

ein stetiger geschlossener Weg.Zeige, dass genau dannnullhomotopist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibegibt.


Aufgabe

Zeige, dass der kontrahierbarist.


Aufgabe

Es sei einwegzusammenhängendertopologischer Raumund seienPunkte. Zeige, dass dieFundamentalgruppenund und zueinanderisomorphsind.


Aufgabe

Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit . Zeige, dass die Zuordnung

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge derHomotopieklassengeschlossener Wege(mit Aufpunkt bzw. )induziert.


Aufgabe

Es sei einestetige Abbildungzwischentopologischen Räumenund mit.Zeige, dass die Zuordnung

zu einem Gruppenhomomorphismus

führt.


Aufgabe

Zeige, dass bei der einfach zusammenhängendist.


Aufgabe

Zeige explizit, dass der stetige Weg

nullhomotopist.


Es sei eine Gruppe,dann heißt die von

erzeugte Gruppe die Kommutatoruntergruppe von .


Aufgabe

Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dannkommutativist, wenn dieKommutatoruntergruppe trivial ist.


Aufgabe

Es seien und Gruppenund sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung .


Zu einerGruppe heißt dieRestklassengruppe, wobei dieKommutatorgruppevon bezeichnet, dieAbelianisierung von .



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