Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 6

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},}$

eineÜberlagerungist.

Es seien${\displaystyle {}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$, ${\displaystyle {}w\longmapsto w^{n}}$,und${\displaystyle {}\varphi _{k}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$, ${\displaystyle {}y\longmapsto y^{k}}$,Potenzüberlagerungen im Sinne vonBeispiel 6.2.Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung

${\displaystyle \theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$

gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall ${\displaystyle {}\theta }$ ebenfalls eine Überlagerung?

Es sei${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}\geq 2}$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ keineÜberlagerungist.

Es sei${\displaystyle {}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]}$und sei

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$derart, dass${\displaystyle {}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U}$ eineÜberlagerungist.

Es sei${\displaystyle {}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$, ${\displaystyle {}w\longmapsto w^{n}}$,die Potenzüberlagerung im Sinne vonBeispiel 6.2und ${\displaystyle {}\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$, ${\displaystyle {}w\longmapsto \exp w}$,die Exponentialüberlagerung im Sinne vonBeispiel 6.3.Zeige, dass es eine stetige Abbildung${\displaystyle {}\theta \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$derart gibt, dass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{\times }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow \varphi _{n}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{\times }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutiert. Ist ${\displaystyle {}\theta }$ eine Überlagerung?

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineÜberlagerungzwischen dentopologischen Räumen${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}X}$und sei${\displaystyle {}T\subseteq X}$eine Teilmenge. Zeige, dass

${\displaystyle p{|}_{p^{-1}(T)}\colon p^{-1}(T)\longrightarrow T}$

ebenfalls eine Überlagerung ist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineÜberlagerungvontopologischen Räumen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$mit ${\displaystyle {}X}$ hausdorffsch.Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}Y}$ hausdorffsch ist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$einesurjektiveÜberlagerungvontopologischen Räumen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$mit ${\displaystyle {}Y}$ hausdorffsch.Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}X}$ hausdorffsch ist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$einestetige Abbildungzwischen dentopologischen Räumen${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}X}$und es sei${\displaystyle {}T\subseteq X}$eine Teilmenge, die sowohloffenals auchabgeschlossensei. Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ genau dann eineÜberlagerungist, wenn die beiden Einschränkungen von ${\displaystyle {}p}$ auf ${\displaystyle {}p^{-1}(T)}$ und auf ${\displaystyle {}p^{-1}(X\setminus T)}$ Überlagerungen sind.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineÜberlagerungvontopologischen Räumen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$und sei${\displaystyle {}Z\subseteq X}$eine Teilmenge, die sowohloffenals auchabgeschlossensei. Zeige, dass dann auch

${\displaystyle p{|}_{Z}\colon Z\longrightarrow X}$

eine Überlagerung ist.

Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineoffene Abbildungist.

Es sei${\displaystyle {}U\subseteq X}$eineoffene Teilmengeeinestopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass die Inklusion${\displaystyle {}U\rightarrow X}$ genau dann eineÜberlagerungist, wenn ${\displaystyle {}U}$ abgeschlossenist.

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ und die punktierte offene Kreisscheibe${\displaystyle {}U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}}$ nichtbiholomorphzueinander sind.

Zeige, dass es bei einerÜberlagerung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$zu jedem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$eineoffene Umgebung${\displaystyle {}x\in U\subseteq X}$und einen stetigen Schnitt${\displaystyle {}s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)}$zu ${\displaystyle {}p}$ gibt.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$einlokaler Homöomorphismuszwischen den topologischen Räumen${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}X}$,wobei ${\displaystyle {}Y}$ einHausdorffraumsei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg${\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X}$höchstens einestetige Liftung

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y}$

gibt.

Es sei${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq U}$und${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq V}$miteinander verklebt. Ist der entstehende RaumHausdorffsch?

Es sei ${\displaystyle {}Y}$ der inAufgabe 6.16konstruierte topologische Raumund sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung einlokaler Homöomorphismusist und dass die Liftung von stetigen Wegen aber nicht eindeutig ist.

Es sei${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$die Vereinigung der halboffenen Verbindungsstrecken ${\displaystyle {}Y_{n}}$ zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}}$ zwischen dem Punkt ${\displaystyle {}(0,n)}$ und dem Punkt ${\displaystyle {}\left({\frac {n-1}{n}},\,n\right)}$. Es sei ${\displaystyle {}Y}$ versehen mit der induzierten Topologieund sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow [0,1]}$die Projektion auf die erste Komponente.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ einlokaler Homöomorphismusist.
2. Es sei

   ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]}$

   der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}\gamma {|}_{[0,s]}}$ für jedes${\displaystyle {}s<1}$eine stetige Liftungbesitzt, aber nicht ${\displaystyle {}\gamma }$ selbst.

Es sei${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$die Vereinigung der Verbindungsstrecken ${\displaystyle {}Y_{n}}$ zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ zwischen dem Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ und dem Punkt ${\displaystyle {}\left({\frac {n}{n+1}},\,n-1\right)}$. Es sei ${\displaystyle {}Y}$ versehen mit der induzierten Topologieund sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow [0,1]}$die Projektion auf die erste Komponente. Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]}$

der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}\gamma {|}_{[0,s]}}$ für jedes${\displaystyle {}s<1}$eine stetige Liftungbesitzt, aber nicht ${\displaystyle {}\gamma }$ selbst.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorffraumund sei

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow X}$

einestetige Abbildung.Zeige, dass die Menge derFixpunktevon ${\displaystyle {}\varphi }$ abgeschlossenist.

Es sei ${\displaystyle {}Y}$ der inAufgabe 6.16konstruierte topologische Raum.Beschreibe einen Homöomorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon Y\rightarrow Y}$,dessen Fixpunktmengenichtabgeschlossenist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineÜberlagerungzwischen dentopologischen Räumen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon Y\rightarrow Y}$eineDecktransformation.Zeige, dass zu einer Teilmenge${\displaystyle {}T\subseteq X}$auch ${\displaystyle {}\varphi {|}_{p^{-1}(T)}}$ eine Decktransformation der Überlagerung${\displaystyle {}p^{-1}(T)\rightarrow T}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einzusammenhängendertopologischer Raumund ${\displaystyle {}F}$ eindiskretertopologischer Raum. Bestimme dieDecktransformationsgruppe zur trivialenÜberlagerung${\displaystyle {}p\colon X\times F\rightarrow X}$.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineÜberlagerungzwischenkomplexen Mannigfaltigkeiten.Zeige, dass eineDecktransformation

${\displaystyle \varphi \colon Y\longrightarrow Y}$

holomorphist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineholomorpheÜberlagerungzwischen denkomplexen Mannigfaltigkeiten${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.

1. Zeige, dass zu einerholomorphen Funktion${\displaystyle {}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$die nach ${\displaystyle {}Y}$ zurückgezogene Funktion

   ${\displaystyle {}g:=h\circ p\,}$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation${\displaystyle {}\theta \colon Y\rightarrow Y}$die Gleichheit

   ${\displaystyle {}g\circ \theta =g\,}$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nunnormal.Es sei

   ${\displaystyle g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation ${\displaystyle {}\theta }$ die Identität${\displaystyle {}g\circ \theta =g}$gilt. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion${\displaystyle {}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$mit${\displaystyle {}g=h\circ p}$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}Y}$ der inAufgabe 6.16konstruierte topologische Raumund sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung stetig,surjektiv,endlichund einlokaler Homöomorphismusist, aber keineÜberlagerung.Welche Voraussetzung vonSatz 6.19ist verletzt?