商餘

商餘係有關除法嘅數學。其實計算商餘，只係運用緊餘數定理。

例一

計算${\displaystyle 12{\text{ mod }}5}$ 。

${\displaystyle 12{\text{ mod }}5}$ 呢條式係指要搵${\displaystyle 12\div 5}$ 得出餘數。利用餘數定理，得知${\displaystyle 12=5\times 2+2}$ 。

因此${\displaystyle 12{\text{ mod }}5=2}$ 

例二

假設而家係上晝十點，要揾七十個鐘之後，係過咗幾多日又幾多個鐘，即係要搵${\displaystyle 70{\text{ mod }}24}$ 。利用餘數定理，得知${\displaystyle 70=24\times 2+22}$ 。

因此，${\displaystyle 70{\text{ mod }}24=22}$ 。

因為而家係上晝十點，再加廿二個鐘，就即係${\displaystyle (10+22){\text{ mod }}24=32{\text{ mod }}24=8{\text{ mod }}24}$ 。

所以過咗七十個鐘之後係三日後上晝八點。

商餘有一個特質，佢走出嚟嘅答案一定係介乎要除嗰個數同零之間。用數學式表達，就係${\displaystyle a{\text{ mod }}b:=\{r\in \mathbb {Z} :a=bq+r\}}$ ，因為餘數定理講到明${\displaystyle 0\leq r$ ，所以得出${\displaystyle \{r\in \mathbb {Z} :a=bq+r\}=\{0,1,2,3,\dots ,r-1\}}$ 。

例一

根據上面嘅例一，任何一個整數${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ，將佢${\displaystyle a{\text{ mod }}5}$ 。a就會係0、1、2、3、4其中一個，即係${\displaystyle a\in \{0,1,2,3,4\}}$ 。

好多電腦程式都支援mod嘅計算。

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