Modulo: Operacja wyznaczania reszty z dzielenia

Ten artykuł dotyczy realizacji reszty i arytmetyki modularnej w informatyce. Zobacz też: reszta i arytmetyka modularna w matematyce.

W dalszym ciągu napis ${\displaystyle a\ {\bmod {\ }}d=r}$ będzie oznaczał, iż ${\displaystyle r}$ jest resztą z dzielenia ${\displaystyle a}$ przez ${\displaystyle d.}$

Są różne sposoby określania reszty, a komputery i kalkulatory mają różne sposoby przechowywania i reprezentowania liczb, więc wynik operacji modulo zależy od języka programowania i/lub sprzętu.

W niemal każdym systemie komputerowym współczynnik wynikający z dzielenia jest ograniczany do zbioru liczb całkowitych, a reszta ${\displaystyle r}$ jest zwykle ograniczona przez ${\displaystyle 0\leqslant r<|d|}$ albo ${\displaystyle -|d|$ Wybór między dwiema możliwymi resztami zależy od znaku ${\displaystyle a}$ lub ${\displaystyle d}$ oraz użytego języka programowania. Niektóre języki programowania, jak na przykład C89, nawet nie definiują wyniku jeśli zarówno ${\displaystyle d,}$ jak i ${\displaystyle a}$ jest ujemne – patrz tabela.

${\displaystyle a}$ modulo 0 jest nieokreślone w większości systemów, choć niektóre określają je jako ${\displaystyle a.}$ Jeśli definicja jest spójna z algorytmem dzielenia, wtedy ${\displaystyle d=0}$ implikuje ${\displaystyle 0\leqslant r<0,}$ co jest sprzeczne (tzn. zwykła reszta w tym wypadku nie istnieje).

Reszta może być wyznaczana równaniami, które korzystają z innych funkcji. Jednym z takich użytecznych równań wyznaczania reszty ${\displaystyle r}$ jest

${\displaystyle r=a-d\left\lfloor {\frac {a}{d}}\right\rfloor ,}$

gdzie ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ oznacza zaokrąglenie w dół liczby ${\displaystyle x.}$

Dzielenie modulo jest powszechnie używane przy obliczaniu cyfry kontrolnej w identyfikatorach. W algorytmie Luhna, numerach PESEL, REGON, NIP, numerach dowodów osobistych, paszportów, numerach towarów EAN, numerach banknotów EURO, numerach kont bankowych IBAN, numerach substancji chemicznych CAS, ISBN, ISMN, ISSN, ISTC, EVN-UIC, numerach recept, prawa wykonywania zawodu lekarza, numerach kontenera i wielu innych. Podstawowym celem użycia cyfry lub znaku kontrolnego jest wykrywanie pomyłek przy ręcznym wprowadzaniu numeru do systemu informatycznego. Wszystkie te metody zapewniają wykrycie zamiany pojedynczego znaku oraz w znacznej większości zamiany sąsiednich znaków, tzw. czeskiego błędu.