פי

מען ניצט π ווייל ער איז דער ערשטער אות פונעם גריכישן ווארט "περίμετρος" (פערימעטראס) וואס מיינט ארומנעם.

די ערשטע 50 ציפערן אין דער אומענדיקער דעצימאלער רעפרעזענטאציע פון ${\displaystyle \pi }$ זענען: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

דאס איז א אומראציאנעלער נומער, ד. ה. אז עס איז נישט מעגליך צו דאס ארויסברענגען ווי א פראפארציע פון צוויי גאנצע נומערן. דאס האט לאמבערט דערוויזן אין יאר 1761. אבער, מען רעפרעזענטירט ${\displaystyle \pi }$ ווי א פראקציע, למשל 22/7.

אין יאר 1882 האט פערדינאנד לינדעמאן באוויזן דעם לינדעמאן־ווייערשטראס טעארעם פון וואס עס ווערט געדרונגען אז ${\displaystyle \ \pi }$איז א טראנסצענדענטישע צאל.‏ פון דעם באווייז קומט אויס אז מען קען נישט ווייזן ${\displaystyle \ \pi }$ מיט אן ענדלעכע צאל פון גאנצע צאלן, ברוכצאלן, אדער זייערע ווארצלען, צוזאמען מיט די פיר הויפט־פעולות פון חשבון. איין רעזולטאט פון דעם טעארעם איז אז מען קען נישט, ניצנדיק א ווירע און א צירקל, שאפן א קוואדראט מיט דעם גלייכן שטח ווי א געוויסער קרייז, איינער פון די קלאסישע פראבלעמען פון מאטעמאטיק.

ווייל די עלעמענטארסטע דעפיניציע פון ${\displaystyle \ \pi }$האט א שייכות מיט דעם קרייז, געפינט זיך ${\displaystyle \ \pi }$אין עטלעכע פארמלען אין טריגאנאמעטריע און געאמעטריע, ספעציעל די וואס האבן צו טון מיט קרייזן, עליפסן און קיילעכן. אין מער מאדערנעם מאטעמאטישן אנאליז, ווערט דער דעפינירט אנדערש ניצנדיק די ספעקטראלע אייגנשאפטן פון דער רעאלע צאל סיסטעם, ווי אן אייגנווערט אדער פעריאד, אן קיין שום רעפערענץ צו געאמעטריע. דערפאר באווייזט זיך ${\displaystyle \ \pi }$אין טיילן פון מאטעמאטיק און וויסנשאפטן וואס קיין שייכות נישט מיט דער געאמעטריע פון קרייזן, ווי למשל נומערן טעאריע און סטאטיסטיק, ווי אויך אין כמעט אלע געביטן פון פיזיק. צוליב דער אומעטומקייט פון ${\displaystyle \ \pi }$ איז ער איינער פון די מערסט באוואוסטע מאטעמאטישע קאנסטאנטן סיי אינערהאלב סיי אינדרויסן פון דער וויסנשאפטלעכער געמיינדע. עס זענען פאראן גאנצע ביכער וועגן ${\displaystyle \ \pi }$, און מען האט שוין גערעכנט וואס מער ציפערן פון ${\displaystyle \ \pi }$. מענטשן האבן שוין זיך אויסגעלערנט ${\displaystyle \ \pi }$צו מער ווי 70,000 ציפערן.

${\displaystyle \ \pi }$  איז אן אומראציאנעלע צאל, ד״ה מען קען אים נישט שרייבן ווי א ברוכצאל פון צוויי גאנצע צאלן. די אייגנשאפט איז באוויזן געווארן אין יאר 1761 דורך יאהאן היינריך לאמבערט.‏

אין יאר 1882 האט פערדינאנד לינדעמאן באוויזן דעם לינדעמאן טעארעם פון וואס עס קומט ארויס דירעקט אז ${\displaystyle \ \pi }$  איז א טרנסצענדענטאלע צאל.‏ פון דעם באווייז קומט אויס אז ${\displaystyle \ \pi }$  קען נישט ווערן גערעכנט פון גאנצע צאלן, ברוכצאלן אדער זייערע ווארצלען צוזאמען מיט די פיר פעולות פון חשבון. נאך אן אויסקום איז אז מען קען נישט, דורך קאנסטרוקציע מיט א ווירע און א צירקל, שאפן א קוואדראט וואס זיין שטח איז גלייך צום שטח פון א געגעבענעם קרייז – איינער פון די קלאסישע פראבלעמען פון געאמעטריע.

רעכענען א מער און מער גענויען ווערט פאר ${\displaystyle \ \pi }$  איז געווארן אן ארויסרוף במשך הונדערטער יאר.

 

מען האט געוואוסט בערכדיקע ווערטן צו פי שוין אין בבל און אין אוראלט עגיפטן, אבער ארכימעד האט געוויזן צום ערשטן מאל א מעטאד וואס דערמעגלעכט רעכענען ${\displaystyle \ \pi }$ צו נארוועלכער גענויקייט (דער אויסשעפונג מעטאד). דער מעטאד איז באזירט אויף דעם וואס דער ארומנעם פון דעם קרייז איז קלענער ווי דער ארומנעם פון דעם פילעק וואס דער קרייז איז זיין אינקרייז, און גרעסער ווי דער ארומנעם פון דעם פילעק וואס דער קרייז איז זיין ארומקרייז. מיטן רעכענען דעם ארומנעם פון די ביידע פילעקן, וואס דער פילעק קען האבן וואס מער ריפן, קען מען רעכענען דעם ארומנעם פונעם קרייז וואס מער גענוי, און במילא רעכענען ${\displaystyle \ \pi }$  וואס מער גענוי. ארכימעד האט געניצט זיין מעטאד מיט א זעקסעק, און דערנאך האט ער געטאפלט די צאל ריפן (ניצנדיק כסדר רעגלמעסיקע פילעקן). מיט א פילעק פון 96 ריפן האט ארכימעד געקומען צום ארויסקום ‏ (וואס דערשיינט אינעם בוך וועגן מעסטן דעם קרייז):

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}}$ 

בערך יאר 480 האט דער כינעזישער מאטעמאטיקער זו טשאנגזשי גערעכנט אז   π ≈ ‏${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$  ניצנדיק א פילעק מיט 12,288 עקן. דער ווערט 3.141592920 איז געהעריג אין די ערשטע זיבן ציפערן, און האט געהאלטן 800 יאר.

אין דעם אנהייב פונעם 15טן יארהונדערט האט דער פערסישער מאטעמאטיקער און אסטראנאם אל-קאשי גערעכנט ${\displaystyle \ 2\pi }$ צו 9 ציפערן אין דעם סעקסיגעסימאל-באזע, א גענויקייט וואס איז גלייך צו 16 ציפערן אין דעצימאל.

אין יאר 1596 האט דער האלענדער לודאלף וואן קעלין דערגרייכט 20 ציפערן, און עטלעכע יאר נאכהער האט ער דערגרייכט א גענויקייט פון 35 ציפערן.

די אנטוויקלונג פון דעם קאלקולוס אין דעם 17טן יארהונדערט האט געברענגט נייע סיסטעמען צו רעכענע ${\displaystyle \ \pi }$ . די סיסטעמען זענען באזירט אויף א רעפרעזענטאציע פון ${\displaystyle \ \pi }$ ווי דער סכום פון אן אומענדלעכער סעריע.

אומענדלעכע סעריעס

 

די רעכענונג פון π איז געווארן רעוואלוציאנירט דורך דער אנטוויקלונג פון אומענדלעכע סעריע טעכניקן אין די 16טע און 17טע יארהונדערטער. און אומענדלעכע סעריע איז דער צוגאב פון די עלעמענטן פון אן אומענדלעכן סעקווענץ. אומענדעלעכע סעריעס האבן געלאזט מאטעמאטיקער רעכענען ${\displaystyle \ \pi }$ מיט פיל גרעסערער פרעציזקייט ווי ארכימעד און אנדערע וואס האבן געניצט געאמעטרישע טעכניקן. כאטש מען האט אויסגעניצט אומענדלעכע סעריעס פאר π, איבערהויפט דורך אייראפעאישע מאטעמאטיקער ווי דזשיימס גרעגארי און גאטפריד ווילהעלם לייבניץ, דעם דאזיגן צוגאנג האט מען שוין אנטפלעקט אין אינדיע צווישן די יארן 1400 און 1500 צו דער ציווילער רעכענונג. די ערשטע געשריבענע באשרייבונג פון אן אומענדלעכער סעריע וואס מ׳האט געקענט ניצן צו רעכענען π איז געווען אויסגעלייגט אין סאנסקריט פֿערזן דורך דעם אינדישן אסטראנאם נילאקאנטא סאמאיאדזשי אין זיין טאנטראסאמגראהא, בערך אין יאר 1500. די סעריעס ווערן געברענגט אן קיין באווייזונג, אבער עס קומען פאר באווייזן אין א שפעטערדיקער אינדישער ווערק, יוקטיבאהאסא, פון בערך יאר 1530. נילאקאנטא שרייבט צו די סעריעס צו א פריערדיקן אינדישן מאטעמאטיקער, מאדהאווא פון סאנגאמאגראמא, וואס האט געלעבט אומגעפער 1350 –  1425. עטלעכע אומענדלעכע סעריעס ווערן באשריבן, איינשליסנדיק סעריעס פאר סינוס, טאנגענס און קאסינוס, וואס מען רופט היינט די מאדהאווא סעריע אדער גרעגארי–לייבניץ סעריע. מאדהאווא האט געניצט אומענדלעכע סעריעס צו שאצן π ביז 11 ציפערן ארום יאר 1400, אבער ארום 1430 האט דער פערסישער מאטעמאטיקער דזשאמשיד אל-קאשי פארבעסערט די רעכענונג, מיט א פילעק־אלגאריטם.

 

אין די פריעסטע באניצונגען איש דער גריכישער אות π געווען א פארקירצונג פון דעם גריכיש ווארט פאר פעריפֿעריע (περιφέρεια), און איז געווארן קאמבינירט אין פראפארציעס מיט δ (פאר דיאמעטער) אדער ρ (פאר ראדיוס) צו שאפן קרייז קאנסטאנטן. (פאר דעם האבן מאטעמאטיקער ווי א מאל געניצט בוכשטאבן ווי c אדער p אנשטאט דעם.) דאס ערשטע מאל וואס איז באריכטעט איז ווען אוטרעד האט געניצט "${\displaystyle \delta .\pi }$ ", ארויסצודרוקן די פראפארציע פון פעריפֿעריע און דיאמעטער אין די 1647 און שפעטערע אויסגאבעס פון Clavis Mathematicae. אזוי אויך האט בארא געניצט "${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ " צו רעפרעזענטירן דעם קאנסטאנט 3.14..., און גרעגארי האט געניצט "${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$ " צו רעפרעזענטירן 6.28... .

אין ספר מלכים (ספר מלכים א, פרק ז, פסוק כג) איז משמע פונעם פסוק וועגן דעם ים־הנחושת וואס שלמה המלך האט געמאכט אז דער ארומנעם איז 3 מאל דעם דיאמעטער.

פשטות נעמט מען אָן אז דער פסוק איז נישט צופיל מדייק דעם נומער, און דאס הייסט נישט אז מ׳האט נישט געוואוסט א מער מדוייק׳ן ווערט פאר ${\displaystyle \ \pi }$  אין יענע צייטן, אדער אפשר איז גערעכענט דער דרויסענדיגער ארומנעם און דער אינעוועניגסטער ראדיוס. דער ווילנער גאון זאגט אז ס׳איז מרומז אין פסוק די פראפארציע צווישן ${\displaystyle \ \pi }$ און 3, וואס דארף אויסקומען בערך 1.04719, ווייל ס׳איז דא א קרי וכתיב פונעם ווארט וואס איז געשריבן קוה און מען לייענט עס קו; די פראפארציע צווישן דער גימטריא פונעם ווארט קוה (111) און דעם ווארט קו (106) איז אומגעפער ...1.04716.‏

פי באווייזט זיך אין פיל מאטעמאטישע פארמלען. פארשטייט זיך אז פארמלען וואס מעסטן קרייזן און ספערן ניצן ${\displaystyle \ \pi }$ , אבער אויך אין גאר אנדערע געביטן וואס האבן אייגנטלעך נישט קיין שייכות מיט געאמעטריע אדער קרייזן.

געאמעטריע

ארומנעם פון א קרייז	${\displaystyle C=2\pi r\,\!}$
שטח פון א קרייזפלאך	${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!}$
שטח פון אן עליפס	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
פארנעם פון א קיילעך	${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\,\!}$
אייבערפלאך שטח פון א קיילעך	${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!}$
פארנעם פון א צילינדער	${\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}$
אייבערפלאך שטח פון א צילינדער	${\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}$
פארנעם פון א קאנוס	${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!}$
אייבערפלאך שטח פון א קאנוס	${\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}$

מאטעמאטישער אנאליז

• וויעטא׳ס פארמל, 1593:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }$ 

• גרעגארי-לייבניץ פארמל, אויף די נעמען פון דזשיימס גרעגארי (1638–1675) און ווילהעלם לייבניץ. גרעגארי האט אנטפלעקט די פארמל אין 1672. זי דערשיינט אויך אין דעם בוך Ganita-Yukti-Bhasa וואס דער אינדישער מאטעמאטיקער Jyesthadeva האט געשריבן אין דעם 16טן יארהונדערט. די פארמל איז

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$ 
ד״ה:
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{2n-1}}\right)={\frac {\pi }{4}}}$ 
(מען באקומט די סעריע ווען מען שטעלט ${\displaystyle \ x=1}$  אין דער טיילאר סעריע פאר ${\displaystyle \ \arctan(x)}$ )

• דער וואליס פראדוקט:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ 

• דער אינטעגראל פון דער גאוס פונקציע (נארמאלע פארטיילונג):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ 

• דער באזעלער פראבלעם וואס לעאנהארד אוילער האט געלייזט (זעט אויך די רימאן זעטא פונקציע):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 
${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$ 

• די גאמא פונקציע (וואס איז א גענעראליזאציע פון דער פאקטאריאל פונקציע) פון 1/2:

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 

• סטירלינג פארמל וואס מען ניצט צו דערנענטערן דעם פאקטאריאל פון גרויסע צאלן:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 
(מען באווייזט די טענה דורך אן אסימפטאטישע אנטוויקלונג פון דער גאמא פונקציע)

• די אוילער אידענטיטעט וואס איז באזירט אויף דער אוילער פארמל (וואס ריטשארד פיינמאן האט גערופן די "וואונדערבארסטע אידענטיטעט אין מאטעמטיק", און זי פארבינדט די פינף פונדאמענטאלע מאטעמאטישע קאנסטאנטן):

${\displaystyle e^{\pi i}+1=0\;}$ 

• דער שטח פון א קוואדראט פון דעם איינץ-קרייז:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx={\pi \over 4}}$ 

• נאך אן אומאייגנטלעכער אינטעגראל:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi }$