Ma Trận Khả Nghịch

Ma trận đơn vị

• Ma trận đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.

${\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdot &\cdot &0\\0&1&\cdot &\cdot &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdot &\cdot &1\end{bmatrix}}}$ 

• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.

Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó

• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A⁻¹.

1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.}$ 
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận

Định thức con và phần bù đại số

• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a_ij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử a_ij, ký hiệu là M_ij.
• Định thức con M_ij với dấu bằng (-1)^i+j được gọi là phần bù đại số (cofactor) của phần tử a_ij, ký hiệu là A_ij.

Ví dụ: Cho ma trận

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{bmatrix}}}$ .
Khi đó
${\displaystyle A_{11}=(-1)^{2}{\begin{vmatrix}2&1\\0&3\end{vmatrix}}=6}$ 
Tương tự A₁₂=0; A₁₃=0; A₂₁=-3;A₂₂=3;A₂₃=0;A₃₁=-1;A₃₂=-1;A₃₃=2;

Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdot &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdot &A_{n2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{1n}&A_{2n}&\cdot &A_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

Các bước tìm ma trận nghịch đảo

Sau đây là các bước tìm ma trận nghịch đảo sử dụng khai triển Laplace:

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A
  Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo ${\displaystyle A^{-1}}$ 
  Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo ${\displaystyle A^{-1}}$ , chuyển sang bước 2
• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Lập ma trận phụ hợp (cofactor matrix) của A' được định nghĩa như sau
  ${\displaystyle A^{*}=(A'_{ij})_{nn}}$ 
  với ${\displaystyle A'=(A'_{ij})}$  là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
• Bước 4: Tính ma trận ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}A^{*}}$ 

Ví dụ

Cho ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-2\\3&2\\\end{bmatrix}}}$ . Tính ${\displaystyle A^{-1}}$ ,

Tìm ma trận nghịch đảo Ma Trận Khả Nghịch bằng phép khử Gauss-Jordan

Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A

${\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}1&-2\\3&2\end{vmatrix}}=1*2-(-2*3)=8}$ 

${\displaystyle det(A)=8\neq 0}$ suy ra tồn tại ma trận nghịch đảo ${\displaystyle A^{-1}}$ , chuyển sang bước 2.

• Bước 2: Tìm ma trận chuyển vị A' của A.

${\displaystyle A'={\begin{bmatrix}1&3\\-2&2\end{bmatrix}}}$ 

• Bước 3: Tìm ma trận phụ hợp A* của A'.

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}}$ 

• Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo ${\displaystyle A^{-1}}$ .

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{8}}{\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.25\\-0.375&0.125\end{bmatrix}}}$ 

• Phép nhân ma trận
• Ma trận đơn vị
• Ma trận giả đảo

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Inversion of a matrix”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (ấn bản 2). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – qua Google Books.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (ngày 15 tháng 11 năm 2012). “The Matrix Cookbook” (PDF). tr. 17–23.

• Sanderson, Grant (ngày 15 tháng 8 năm 2016). “Inverse Matrices, Column Space and Null Space”. Essence of Linear Algebra – qua YouTube.
• Strang, Gilbert. “Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices”. MIT OpenCourseWare.
• Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown
• Moore-Penrose Inverse Matrix