Matriz Invertible: Elemento algebraico matricial con la propiedad de tener matriz inversa

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular ${\displaystyle A}$ se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna ${\displaystyle X}$ es igual a cero para algún ${\displaystyle X}$ no nulo. El conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker${\displaystyle A}$ (de kernel, núcleo en alemán), para una matriz invertible ker${\displaystyle A}$ es el vector nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz de dos filas (matriz adjunta)

Dada una matriz ${\displaystyle A}$  de tamaño ${\displaystyle 2\times 2}$  con determinante no nulo entonces

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$ 

y esta está definida siempre y cuando ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$  con ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ . Así por ejemplo la inversa de la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}$ 

ya que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

Matriz de tres filas

Dada una matriz ${\displaystyle A}$  de tamaño ${\displaystyle 3\times 3}$  con determinante no nulo:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$ 

donde se definen

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}$ 

Sea ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  una matriz de rango máximo

• La matriz inversa de ${\displaystyle A}$  es única.
• Si ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  y ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  entonces la matriz inversa del producto ${\displaystyle BC}$  es

${\displaystyle \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}}$ 

• Si la matriz ${\displaystyle A}$  es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$ 

• Y, evidentemente:

${\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}$ 

• Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }$ 

donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$  es el determinante de ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$  es la matriz de adjuntos de ${\displaystyle A}$ , entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto​​​​​ en el artículo matriz de adjuntos).

• El conjunto de matrices de ${\displaystyle n\times n}$  con componentes sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbf {K} }$  que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$  de orden ${\displaystyle n}$ . En este grupo la operación de inversa es un automorfismo ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$ .

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que ${\displaystyle B}$  y ${\displaystyle C}$  son inversas de ${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I}$ 

Multiplicando ambas relaciones por ${\displaystyle C}$ 

${\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{y}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$ 

De modo que ${\displaystyle B=C}$  y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Suficiencia ${\displaystyle (\Rightarrow )}$ 

Supongamos que existe ${\displaystyle B}$  tal que ${\displaystyle AB=BA=I}$ . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

${\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).}$ 

Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que ${\displaystyle \det(I)=1}$  tenemos que

${\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,}$ 

por lo que deducimos que ${\displaystyle \det(A)}$  es distinto de cero.

Necesidad ${\displaystyle (\Leftarrow )}$ 

Supongamos que el determinante de ${\displaystyle A}$  es distinto de cero. Sea ${\displaystyle a_{ij}}$  el elemento ij de la matriz ${\displaystyle A}$  y sea ${\displaystyle A_{ij}}$  la matriz ${\displaystyle A}$  sin la fila ${\displaystyle i}$  y la columna ${\displaystyle j}$  (comúnmente conocida como ${\displaystyle j}$ -ésimo menor de A). Entonces tenemos que

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).}$ 

Además, si ${\displaystyle k\neq j}$ , entonces podemos deducir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,}$ 

pues la parte izquierda de la relación es el determinante de ${\displaystyle A}$  con la columna ${\displaystyle j}$  sustituida por la columna ${\displaystyle k}$  y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener

${\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.}$ 

donde ${\displaystyle \delta _{jk}}$  es la delta de Kronecker.

Por tanto, sabiendo que ${\displaystyle (I)_{ij}=\delta _{ij}}$  tenemos que

${\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,}$ 

es decir, que ${\displaystyle A}$  tiene inversa por la izquierda

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.}$ 

Como ${\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}$ , entonces ${\displaystyle A^{T}}$  también tiene inversa por la izquierda que es

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.}$ 

Entonces

${\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,}$ 

luego, aplicando la transpuesta

${\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,}$ 

que es lo que se quería demostrar.

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:​

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$ 

Esto es posible siempre y cuando ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ , es decir, el determinante de la matriz no es cero.

Ejemplo numérico:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}$ 

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\ }$ 

Donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$  es el determinante de ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }$  es la matriz de adjuntos de ${\displaystyle A}$ .

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

El conjunto de todas las matrices ${\displaystyle n\times n}$  que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}$ . Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}$  es un conjunto abierto (con la topología inducida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ).

• Matriz involutiva

• Ejercicios resueltos de matrices inversas
• , Springer, ISBN 978-1556080104 .