Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích

Nội dung của định lý gồm hai phần:

Cho f là một hàm số thực, liên tục trên một đoạn [a, b]. Hàm F xác định với mọi x thuộc [a, b] bởi công thức:

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,.}$ 

Khi đó, F liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng mở(a, b), và

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$ 

với mọi x thuộc (a, b).

Hệ quả

Định lý này thường được dùng để tính tích phân xác định của một hàm mà nguyên hàm của nó đã biết. Cụ thể, nếu ƒ là một hàm thực, liên tục trên [a, b], và g là nguyên hàm của ƒ trên [a, b], thì

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=g(b)-g(a).}$ 

Hệ quả đã giả thiết tính liên tục của ƒ trên toàn bộ đoạn [a, b]. Phần thứ hai Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích của định lý phát biểu kết quả mạnh hơn hệ quả này.

Phần này thường được gọi là định lý Newton-Leibniz.

Cho f là một hàm số thực xác định trên đoạn [a, b] và tìm được nguyên hàm g của nó trên [a, b], nói cách khác, ƒ và g là các hàm số sao cho với mọi x thuộc [a, b],

${\displaystyle f(x)=g'(x).\ }$ 

Nếu f khả tích trên [a, b] thì

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,=g(b)-g(a).}$ 

Phần thứ hai Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích mạnh hơn hệ quả đã nêu là vì nó không cần giả thiết ƒ là hàm liên tục.

Từ phần thứ nhất của định lý, ta nhận thấy nguyên hàm của ƒ luôn tồn tại khi ƒ liên tục, mặc dù trong nhiều trường hợp, nguyên hàm đó không biểu diễn được thông qua các hàm số sơ cấp quen thuộc.