Định Lý Napoleon

Nếu như ba tam giác đều cùng dựng ra ngoài ta có tam giác Napoleon ngoài, còn ba tam giác cùng dựng vào phía trong ta có tam giác Napoleon trong. Hiệu diện tích của hai tam giác Napoleon trong và ngoài bằng diện tích tam giác ban đầu.

Định lý này đặt theo tên của hoàng đế nước Pháp là Napoleon Bonaparte (1769–1821).

Hai tam giác Napoleon trong và ngoài của tam giác ABC thấu xạ với tam giác ABC tại hai điểm gọi là điểm Napoleon thứ nhất và thứ hai của tam giác ABC. Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác hai điểm Napoleon được đánh số X(17),(X18).

Có rất nhiều mở rộng cho định lý Napoleon, sau đây là một số mở rộng gần đây.

Một họ tam giác đều Napoleon

 

Cho tam giác ${\displaystyle ABC}$ , dựng ba tam giác cân đồng dạng cùng ra ngoài hoặc cùng vào trong ${\displaystyle BA_{0}C,CB_{0}A,AC_{0}B}$  với góc ở đáy là ${\displaystyle \alpha }$ . Cho các điểm ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},A_{2},B_{2},C_{2}}$  trên cách tia ${\displaystyle AA_{0},BB_{0},CC_{0}}$  sao cho:

${\displaystyle {\frac {AA_{1}}{AA_{0}}}={\frac {BB_{1}}{BB_{0}}}={\frac {CC_{1}}{CC_{0}}}={\frac {2}{3-{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$  và

${\displaystyle {\frac {AA_{2}}{AA_{0}}}={\frac {BB_{2}}{BB_{0}}}={\frac {CC_{2}}{CC_{0}}}={\frac {2}{3+{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$ 

Thì các tam giác ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$  và ${\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}}$  là các tam giác đều

Dựng các tam giác đều trên cạnh của một lục giác

 

Dựng sáu tam giác đều trên các cạnh của một lục giác bất kỳ sao cho chúng cùng hướng ra ngoài hoặc vào trong, khi đó trung điểm của các đoạn thẳng nối các trọng tâm của ba cặp tam giác đều đối diện nhau tạo thành một tam giác đều. Trong trường hợp các đỉnh đối diện của lục giác trùng nhau định lý này trở về định lý Napoleon.

Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với cấu trúc đường hyperbol Kiepert

Cho tam giác ABC, F là điểm Fermat thứ nhất (hoặc thứ hai) của tam giác ABC, gọi K là điểm bất kỳ nằm trên đường hyperbol Kiepert. Gọi P là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng FK, khi đó AK cắt đường thẳng qua P và vuông góc BC tại A₀, định nghĩa B₀, C₀ tương tự. Khi đó tam giác A₀B₀C₀ sẽ là tam giác đều vị tự của tam giác đều Napoleon trong (hoặc ngoài).

• Vấn đề Lemoine
• Vấn đề Napoleon
• Điểm Fermat
• Lục giác

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967). Geometry Revisited. New Mathematical Library. 19. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. tr. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402.
• Grünbaum, Branko (2012). Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?. American Mathematical Monthly. 119. tr. 495–501. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. Zbl 1264.01010.
• Wetzel, John E. (tháng 4 năm 1992). Converses of Napoleon's Theorem (PDF). The American Mathematical Monthly. 99. tr. 339–351. doi:10.2307/2324901. Zbl 1264.01010. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 29 tháng 4 năm 2014. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2014.

• Napoleon's Theorem and Generalizations, at Cut-the-Knot
• To see the construction, at instrumenpoche
• Napoleon's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Napoleon's Theorem" từ MathWorld.
• Napoleon's Theorem and some generalizations, variations & converses at Dynamic Geometry Sketches
• Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs
• Infinite Regular Hexagon Sequences on a Triangle (generalization of Napoleon's Theorem) by Alvy Ray Smith.