Математика Проміжок

Проміжок може включати або не включати кінці проміжку. Цим проміжок відрізняється від інтервалу в класичному розумінні — тобто, відкритого проміжку, в який не включено його кінці. Проте терміни «проміжок» та «інтервал» нерідко використовують як синоніми, особливо в перекладах з англомовної літератури, бо під терміном "interval" англійською розуміється проміжок.

Кінці проміжку, більший та менший, звуть відповідно верхньою та нижньою границями (межами) проміжку.

Як ${\displaystyle (a,b)}$  позначається інтервал (відкритий проміжок), тобто проміжок між дійсними числами ${\displaystyle a}$  і ${\displaystyle b}$ , не включаючи кінців цього проміжку (тобто, сукупність таких дійсних чисел ${\displaystyle x}$ , які відповідають нерівності ${\displaystyle a$ ).

Тут круглі дужки біля обох кінців проміжку означають, що обидва кінці не включаються в проміжок. Коли кінець проміжку включений у проміжок, біля нього ставлять квадратну дужку, наприклад, ${\displaystyle (a,b]}$  для сукупності таких дійсних чисел ${\displaystyle x}$ , які відповідають нерівності ${\displaystyle a$ .

Проміжок, що включає всі дійсні числа, більші за ${\displaystyle a}$ , позначається ${\displaystyle (a,\infty )}$ . Проміжок, що включає всі числа, більші або рівні ${\displaystyle a}$ , позначається ${\displaystyle [a,\infty )}$ .

Проміжок, що включає всі дійсні числа, менші за ${\displaystyle a}$ , позначається ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ . Проміжок, що включає всі числа, менші або рівні ${\displaystyle a}$ , позначається ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ .

Проміжок, що включає всі дійсні числа, позначається ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ .

Виділяють такі види проміжків:

• інтервал або відкритий проміжок: ${\displaystyle (a,b)}$ 
• відрізок, або сегмент, або закритий (замкнений) проміжок: ${\displaystyle [a,b]}$ ;
• півінтервали (напівінтервали, напіввідкриті проміжки): ${\displaystyle [a,b)}$ , ${\displaystyle (a,b]}$ 
• нескінченні проміжки: нескінченний інтервал, наприклад, ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ ; нескінченний відрізок, наприклад, ${\displaystyle [0,\infty )}$ 
• всі дійсні числа, множина ${\displaystyle \mathbb {R} }$  як проміжок ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ 
• порожня множина ${\displaystyle \varnothing }$  як проміжок, що не містить жодного числа — те саме, що ${\displaystyle (a,a)}$ 

У випадку множини дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$  можна навести такі типи проміжків у нотації теорії множин:

• ${\displaystyle (a,b)=\{x\,|\,a$ ,
• ${\displaystyle [a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}}$ ,
• ${\displaystyle [a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x$ ,
• ${\displaystyle (a,b]=\{x\,|\,a$ ,
• ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\,|\,x>a\}}$ ,
• ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\,|\,x\geq a\}}$ ,
• ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\,|\,x$ ,
• ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\,|\,x\leq b\}}$ ,
• ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$ 
• ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$ 
• ${\displaystyle (a,a)=\varnothing }$ 

У випадку розширеної множини дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$  додаються такі типи проміжків:

• ${\displaystyle [-\infty ,b]=\{x\,|\,x\leq b\}\cup \{-\infty \}}$ 
• ${\displaystyle [-\infty ,b)=\{x\,|\,x$ 
• ${\displaystyle [a,\infty ]=\{x\,|\,x\geq a\}\cup \{\infty \}}$ 
• ${\displaystyle (a,\infty ]=\{x\,|\,x>a\}\cup \{\infty \}}$ 
• ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} ^{+}}$ 

Довжина проміжку дорівнює різниці між його верхньою і нижньою межами, незалежно від того, чи включені до проміжку його кінці (оскільки міра множини з одного дійсного числа дорівнює нулю): ${\displaystyle \mu ((a,b))=\mu ([a,b])=\mu ([a,b))=\mu ((a,b])=b-a}$ 

• Множина
• Інтервал
• Напівінтервал
• Відрізок
• Верхня та нижня межа

• М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике — М.: «Наука», 1964 г. — 872 с.
• Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер. Дифференциальное и интегральное исчисление — М.: «Мир», 1971 г. — 680 с.
• И. А. Кушнир, Математическая энциклопедия (для школьников, абитуриентов, преподавателей) — К.: «Астарта», 1995
• Українська радянська енциклопедія — К., 1979 — т. 4 (стаття «Інтервал»).