在圖中的數軸上,所有大于x 和小于x +a 的数组成了一个开区间。 簡說
定义
实区间 在赋予通常序的实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 里,以 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 为端点的开区间 和闭区间 分别是:
( a , b ) = { x ∈ R : a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a [ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}} 类似地,以 a , b {\displaystyle a,b} 为端点的两个半开区间 定义为:
( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a [ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x 在一些上下文中,两个端点要求满足 a < b {\displaystyle a 。这排除了 a = b {\displaystyle a=b} 从而区间或是单元素集合 或是空集 的情形,也排除了 a > b {\displaystyle a>b} 从而区间为空集的情形。
只有左端点 a {\displaystyle a} 的开区间 和半开区间 分别如下。
( a , ∞ ) = { x ∈ R : x > a } , {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},} [ a , ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a } , {\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},} 只有右端点 b {\displaystyle b} 的开区间 和半开区间 分别如下。
( − ∞ , b ) = { x ∈ R : x < b } , {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x ( − ∞ , b ] = { x ∈ R : x ≤ b } , {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},} 整个实数线等于没有端点的区间:
( − ∞ , ∞ ) = R {\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} } 偏序集或预序集中的区间 区间的概念在任何偏序集 或者更一般地,在任何预序集 中有定义。对于预序集 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 和两个元素 a , b ∈ X , {\displaystyle a,b\in X,} ,我们可以类似定义:11, Definition 11
( a , b ) = { x ∈ X : a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a [ a , b ] = { x ∈ X : a ≲ x ≲ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}} ( a , b ] = { x ∈ X : a < x ≲ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a [ a , b ) = { x ∈ X : a ≲ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x ( a , ∞ ) = { x ∈ X : a < x } {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a [ a , ∞ ) = { x ∈ X : a ≲ x } {\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}} ( − ∞ , b ) = { x ∈ X : x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x ( − ∞ , b ] = { x ∈ X : x ≲ b } {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}} ( − ∞ , ∞ ) = X {\displaystyle (-\infty ,\infty )=X} 其中 x < y {\displaystyle x 意思是 x ≲ y ≴ x {\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x} 。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
X ¯ = X ⊔ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}} − ∞ < x < ∞ ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle -\infty 上具有两个端点的区间,使得它是 X {\displaystyle X} 的子集。当 X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 时,可以取 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 为扩展实数线 。
序凸集和序凸分支 预序集 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 的子集 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 是序凸集 ,如果对于任意 x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} 以及任意 x ≲ z ≲ y {\displaystyle x\lesssim z\lesssim y} 有 z ∈ A {\displaystyle z\in A} 。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数 的全序集 ( Q , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )} 中,
Q = { x ∈ Q : x 2 < 2 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}} 是序凸集,但它不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的区间,这是因为2的平方根在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中是不存在的。
设 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 是一个预序集 ,且 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 。包含在 Y {\displaystyle Y} 中的 X {\displaystyle X} 的序凸集关于包含关系构成偏序集 。这个偏序集的极大元 叫做 Y {\displaystyle Y} 的序凸分支 。:Definition 5.1 由佐恩引理 ,包含在 Y {\displaystyle Y} 中的 X {\displaystyle X} 的任意序凸集包含于 Y {\displaystyle Y} 的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集 中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集 的子集的序凸分支构成分划 。
區間算術
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
T × S = { x ∣ {\displaystyle T\times S=\{x\mid {}} 屬於 T {\displaystyle T} 的某些 y {\displaystyle y} ,及屬於 S {\displaystyle S} 的某些 z {\displaystyle z} ,使得 x = y × z } {\displaystyle x=y\times z\}} 區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 及 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} :
[ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ] {\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]} [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ] {\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]} [ a , b ] × [ c , d ] = [ min { a c , a d , b c , b d } , max { a c , a d , b c , b d } ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]} [ a , b ] [ c , d ] = [ min { a c , a d , b c , b d } , max { a c , a d , b c , b d } ] {\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]} 被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律 、結合律 和子分配律 :集 X ( Y + Z ) {\displaystyle X(Y+Z)} 是 X Y + X Z {\displaystyle XY+XZ} 的子集。
另一種寫法
在法国 及其他一些欧洲 国家,用 ] [ {\displaystyle ][} 代替 ( ) {\displaystyle ()} 來表示开区间,例如:
] a , b [ = { x ∣ a < x < b } {\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a [ a , b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b } {\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}} [ a , b [ = { x ∣ a ≤ x < b } {\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x ] a , b ] = { x ∣ a < x ≤ b } {\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a 國際標準化組織 編制的ISO 31-11也允許這種寫法。
另外,在小數點 以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將 [ 1 , 2.3 ] {\displaystyle [1,2.3]} 寫成 [ 1 ; 2 , 3 ] {\displaystyle [1;2,\!3]} 。若只把小數點寫成逗號,就會變成 [ 1 , 2 , 3 ] {\displaystyle [1,2,\!3]} ,此時不易判斷究竟是 1.2 {\displaystyle 1.2} 與 3 {\displaystyle 3} 之間,還是 1 {\displaystyle 1} 與 2.3 {\displaystyle 2.3} 之間的閉區間。
參考
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