Логарифмічна Спіраль

Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (фр. spirale logarithmique) першим вжив П'єр Варіньон.

У полярних координатах рівняння кривої може бути записано як

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$ 

або

${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$ 

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

${\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}$ 
${\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}$ 

де a, b- дійсні числа.

• Кут, що утворюється дотичною в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра ${\displaystyle b.}$ 
  • У термінах диференціальної геометрії це може бути записано як
    ${\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi .}$ 
• Похідна функції ${\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}$  пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли ${\displaystyle b=0\;(\varphi =\pi /2)}$  спіраль вироджується в коло радіусу a. Навпаки, коли b прямує до нескінченності ${\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}$  спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює ${\displaystyle \varphi }$  до 90 °, називають нахилом спіралі.
• Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до мушель молюсків і квіток соняшників.

 

• Якоб Бернуллі бажав, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічну спіраль, але на його надгробку помилково зобразили спіраль Архімеда. Проте напис, вигравіюваний навколо спіралі згідно з заповітом (лат. EADEM MUTATA RESURGO — «змінена, я знов воскресаю»), свідчить, що йдеться саме про логарифмічну спіраль, яка має властивість зберігати свою форму після різноманітних перетворень.

•  
  Мушля молюска за формою близька до логарифмічної спіралі
•  
  Область низького тиску над Ісландією
•  
  Спіральна галактика «Водоверть»
•  
  Секція множини Мандельброта, що являє собою логарифмічну спіраль

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)