Друга Космічна Швидкість

При її розрахунку вважають, що ніякі інші сили окрім гравітації на пробне тіло не діють (зокрема, нехтують спротивом повітря і припускають, що тіло не прискорює себе реактивним двигуном).

Друга космічна швидкість на поверхні сферично-симетричного тіла масою M і радіусом R виводиться із закону збереження енергії і дається формулою

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}}$,

де G — гравітаційна стала. Пробне тіло з такою початковою швидкістю відлітатиме від масивного тіла по параболі, його швидкість з часом прагнутиме до нуля, але пройдена відстань буде необмежено збільшуватись. Друга космічна швидкість сферично-симетричного тіла рівно в ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ разів більша за першу космічна швидкість — швидкість, необхідну для обертання по коловій орбіті.

На поверхні Землі друга космічна швидкість дорівнює 11,2 км/с, а на великій висоті над поверхнею вона зменшуються (наприклад, якщо космічний апарат стартує з високої навколоземної орбіти).

Якщо тіло настільки компактне і масивне, що його друга космічна швидкість дорівнює швидкості світла, то покинути його гравітаційне поле вже неможливо, і таке тіло називається чорною дірою.

 

Розглянемо пробне тіло масою m, яке стартує з поверхні сферично-симетричного масивного тіла масою M і радіусом R, маючи на старті другу космічну швидкість v₂. На старті його кінетична енергія становить

${\displaystyle K={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}}$ ,

Потенціальна енергія на старті є від'ємною (бо тіло перебуває в потенціальній ямі) і дорівнює

${\displaystyle U=-G{\frac {mM}{R}}}$ ,

де G — гравітаційна стала.

Коли пробне тіло відійде дуже далеко від масивного тіла і вже матиме дуже малу швидкість, то і його кінетична енергія, і потенціальна енергія прямуватимуть до нуля. За законом збереження енергії, прирівнюючи сумарну енергію тіла на початку і в кінці руху, отримуємо

${\displaystyle {\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-G{\frac {mM}{R}}=0}$ ,

Виражаючи з цього рівняння другу космічну швидкість v₂, знаходимо

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}}$ 

Важливо відмітити, що в розглядуваному сферично-симетричному випадку друга космічна швидкість рівно в ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  разів більша за першу космічна швидкість,

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}}$ 

В цьому виведенні ми припускали, що маса m набагато менша за M, тобто m << M. Саме це ми мали на увазі, називаючи M «масивним тілом», а m — «пробним тілом» (тобто таким, яке пробує своїм рухом гравітаційне поле масивного тіла, але нездатне вплинути на нього своєю гравітацією).

При певному значенні радіуса планети чи будь-якого іншого тіла значення другої космічної швидкості дорівнює швидкості світла. Це значення радіуса для тіла масою M визначається формулою

${\displaystyle R_{g}={\frac {2MG}{c^{2}}}}$ ,

де c — швидкість світла, й називається гравітаційним радіусом тіла. Теорія відносності стверджує, що жодна інформація не може розповсюджуватися швидше за швидкість світла, а, отже, тіло з розмірами меншими за гравітаційний радіус, значення якого залежить від його маси, не відпускає від себе жоден фізичний об'єкт, навіть світло. Такі тіла називаються чорними дірами.

Друга космічна швидкість є більшою для великих і щільних небесних тіл та меншою — для малих тіл малої густини. Для невеликих астероїдів друга космічна швидкість настільки мала, що її можна досягнути, відштовнувшись ногами від поверхні. Натомість для чорних дір вона є настільки великою, що навіть світло не може їх покинути.

Перша та друга космічні швидкості для деяких небесних тіл представлені в таблиці:

• Перша космічна швидкість
• Третя космічна швидкість
• Четверта космічна швидкість